Курсовая работа: Модель дослідження стійкості та якості перехідних процесів слідкувальної системи

Вирішуючи це рівняння щодо сумарного коефіцієнта посилення САУ, визначуваного як

,

отримуємо, що

З цього виходить, що сумарний коефіцієнт посилення САУ не може перевищувати деяку величину. Отже, межі зменшення погрішності стабілізації регульованої координати в такій системі обмежені. [2]

Частотний критерій Михайлова

Критерій Михайлова – це частотний критерій, що дозволяє судити про стійкість замкнутої системи по поведінці її характеристичного вектора на комплексній площині. Характеристичний вектор отримують шляхом підстановки у вираз для характеристичного полінома

,

Значення . Тоді характеристичний вектор представляється комплексною величиною, визначуваною як:

,

Де

Якщо задаватися різними значеннями і відкладати значення по горизонтальній, а – по вертикальній осям декартової системи координат, то буде отримана крива, звана годографом характеристичного вектора або годографом Михайлова. Інше формулювання: годографом Михайлова називається безліч крапок, утворених при русі характеристичного вектора САУ при зміні частоти від 0 до .

Тобто для стійкості САУ необхідне виконання умови вигляду:

.

Для виведення цього твердження представимо характеристичний поліном у вигляді

,

де – коріння характеристичного рівняння .

На комплексній площині кожному кореню відповідає певна точка. Підставивши, отримуємо

.

Кожен вектор може бути представлений у вигляді вектора, почало якого лежить в крапці, що визначає корінь а кінець лежить на уявній осі. Отже, можна представити сумарним вектором, рівним твору елементарних векторів. Модуль сумарного вектора буде рівний твору модулів окремих векторів, а фаза – сумі фаз цих векторів. При зміні частоти кінець кожного вектора переміщатиметься уздовж уявної осі. При зміні частоти від до кожен вектор, що становить, почало якого лежить на речовій осі, обернеться на кут, рівний, якщо його початок лежить в лівій на півплощині, і рівний –, якщо його початок лежить в правій на півплощині. Кожна пара комплексно-зв'язаного коріння – відповідно на кут +.

Якщо характеристичне рівняння має m коріння в правій на півплощині,

то в лівій на півплощині число цього коріння буде рівне n-m. При зміні частоти від до сумарний кут повороту вектора характеристичного полінома визначається як

.

Для стійкості САУ необхідне і достатньо, щоб все коріння характеристичного рівняння лежало в лівій на півплощині, тобто щоб . Таким чином, якщо вектор характеристичного полінома замкнутої САУ порядку "n" при зміні частоти від до описує в позитивному напрямі кут n, то така система регулювання буде стійка. Інакше САУ буде нестійка.

Через симетричність кривої, що описується кінцем вектора характеристичного полінома, можна обмежитися розглядом лише її частини, відповідної позитивним значенням частоти. При цьому кут, що описується вектором характеристичного полінома при зміні частоти від 0 до, зменшиться удвічі і визначатиметься як

алгоритм програмний слідкувальний система

.