Курсовая работа: Модели оценки опционов

Стоимость опциона покупателя С должна быть равна AS+B, иначе есть возможность получить на операциях с опционом спекулятивную прибыль.

Для того, чтобы рассчитать стоимость опциона покупателя не было необходимости знать вероятности исходов u и d. Вероятности могут повлиять на стоимость опциона покупателя, но только косвенно. Если вероятность u велика, цена акции S, несомненно, выросла бы, и из уравнения (5) можно увидеть, что рост S увеличивает стоимость опциона С. Модель не показывает, как оценивать акции. Она показывает, как оценивать опционы покупателя, зная цену акции. Другими словами, цена опциона покупателя зависит от цены акции.

Кроме того, модель не требует, чтобы инвесторы договаривались о вероятности исхода u. Оптимистично настроенные по отношению к u инвесторы, возможно захотят обладать большим количеством акций (или опционов покупателя). Но при заданной цене акции, они придут к соглашению относительно цены опциона. Покажем, как только что описанная модель используется для формирования хеджированного портфеля и определения стоимости опциона покупателя при заданных условиях.

Пример.

S = 100 $; u = 1,5; d = 1,0; K = 120 $; rf = 0,10; r =1,10;

Cu = max (uS – K, 0) = max (150 $. – 120 $, 0) = 30 $;

Cd = max (dS – K, 0) = max (100 $ – 120 $, 0) = max (-20 $) = 0.

Срок опциона закончится через один период. Сейчас цена акций равна 100 $, а через один период цена будет или 150 $, или 100 $

uS = 1,5* 100 долл. = 150 $;

dS = 1,0*100 долл. = 100 $;

Если цена исполнения опциона 120 $, то стоимость опциона в конце периода будет либо 30 $(при цене акций 150 $), либо 0 (при цене акций 100 $). Чтобы найти А и В, воспользуемся уравнениями (3) и (4):

Так как (u-d) = 0.5 и Cu – Cd = 30 $, то

A = (Cu – Cd)\(u – d)*S = 30 $ /0.5*100 $;

B= (uCd – dCu)\(u-d)*r = (-1)*30 $/0.5 (1.1) = (-60)$/1.1 = (-54.55)$;

Отрицательное значение B показывает, что следует использовать заёмный капитал. На каждый опцион следует купить 0.6 обыкновенных акций на сумму 0.6*100 $ = 60 $ и взять заём 60 $/(1.1) = 54.55 $(в период 1 в счёт погашения долга будет уплачено 60 $).

Если произойдёт событие u, то стоимость портфеля будет:

Обыкновенные акции	Облигации: rB	Итого
100 долл.*0.6 = 60 $	-60 $	0 $

Доход по опциону будет либо 30 $, либо 0 $. Первоначальная стоимость опциона равна:

C = AS + B = 60 $ – 54.55 $ = 5.45 $.

0.6 акций стоят 60 $, из них 54.55 $ взяты в долг под 10%.

Вне зависимости от того, какое из двух событий произойдёт, инвестор в период 1 получит такую же сумму, как если бы он купил опцион покупателя.

Если опцион продаётся на рынке по цене, отличной от 5.45 $, инвестор, знающий как формировать хеджированный портфель, может без всякого риска получить прибыль на арбитражных сделках. Например, пусть опцион продаётся за 10 $. Так как цена опциона завышена, инвестор будет заключать арбитражные сделки, продавая опционы покупателя. Человек, продающий опционы покупателя, обязан купить акцию или иметь её – ведь акции нужно будет отдать. Чтобы гарантировать себе прибыль, арбитражер купит 0.6 обыкновенных акций и возьмёт в долг 54.55 $ в момент продажи опциона покупателя. В период 0 денежные потоки будут такими:

(– 60)$ + 54.55 $ + 10 $ = 4.55 $

В период 1 арбитражер продаст акции, вернёт долг, и, если опцион исполнен, купит акцию на рынке и отдаст её в обмен на цену исполнения. Если цена акции поднимется, то опцион будет исполнен, и денежный поток в период 1 будет таковым: