Курсовая работа: Моделирование рассеяния плоской упругой продольной волны на упругом однородном изотропном цилиндрическом слое

1.1 Распространение упругих волн в однородных изотропных средах

Рассмотрим отдельно случай однородной упругой изотропной среды. В этом случае для цилиндрической системы координат мы получаем следующий закон Гука:

, (1.1)

а уравнения движения Ламе:

(1.2)

где - оператор Лапласа:

(1.3)

Отметим, что уравнения (1.2) записаны в векторной форме и, следовательно, справедливы в любой системе координат,

В однородной изотропной среде существует два типа волн; один из типов волн носит название волн сжатия-разрежения (или продольные волны), другой – волн сдвига (или поперечные волны). Относительно этих волн можно сказать, что они характеризуются различными скоростями распространения фронта, а также тем, что в волнах сжатия – разрежения отсутствует вращение частиц, а сдвиговые волны не сопровождаются изменением объема. Далее, если в некоторый момент волновое поле имеет продольный характер, то оно остается продольным всегда, то есть продольные волны в изотропной однородной безграничной среде при своем распространении не генерируют поперечных. В свою очередь поперечные волны, распространяясь в безграничной среде, не генерируют продольных волн. В однородной среде с границей продольные и поперечные волны распространяются независимо лишь то того момента, пока фронт не пересечет границу. Тогда образуются так называемые отраженные волны обоих типов, так как обычно системе граничных условий нельзя удовлетворить, введя отраженную волну какого-либо одного типа. Характер волны не меняется только в случае перпендикулярного падения волны на поверхность раздела и в случае падения под произвольным углом поперечной волны с параллельными плоскости раздела колебаниями.

Проведем в общем случае разделение произвольной упругой волны в неограниченном однородном изотропном пространстве на две независимо распространяющиеся с разными скоростями продольную и поперечную части.

Уравнение движения упругой изотропной среды без учета массовых сил имеет вид:

Перепишем его, введя в него скорости и , которые представляют соответственно продольную и поперечную скорости распространения волны:

(1.4)

Представим вектор в виде суммы двух частей: , одна из которых удовлетворяет условию , а другая - условию . Из векторного анализа известно, что такое представление всегда возможно (это есть представление вектора в виде суммы ротора некоторого вектора и градиента некоторого скаляра). При подстановке в (1.4) получаем:

(1.5)

Применим к обеим сторонам этого уравнения операцию div. Поскольку , мы получим :

или

С другой стороны, так как , то rot стоящего в скобках выражения также равен нулю. Но если rot и div некоторого вектора исчезают во всем пространстве, то этот вектор тождественно равен нулю. Таким образом,

(1.6)

Аналогично применяя к уравнению (1.5) операцию rotи помня, что и что rot всякого градиента равен нулю, находим

.

Поскольку div стоящего в скобках выражения также равна нулю, то мы приходим к уравнению, подобному (1.6):

(1.7)

Уравнения (1.6), (1.7) представляют собой обычные волновые уравнения (в трех измерениях). Каждое из них соответствует распространению упругой волны со скоростью соответственно или . Одна из этих волн не связана с изменением объема (в силу ), а другая сопровождается объемными сжатиями и расширениями.

В упругой монохроматической волне вектор смещения имеет вид:

, (1.8)