Курсовая работа: Моделирование рассеяния плоской упругой продольной волны на упругом однородном изотропном цилиндрическом слое
где - волновой вектор,
- радиус-вектор,
- круговая частота. В дальнейшем временную зависимость
для простоты формул опускаем. В цилиндрической системе координат падающая волна может быть представлена в виде:
, (2.1)
где - волновое число равное модулю вектора
,
,
- цилиндрическая функция Бесселя порядка n.
Определим отраженную от цилиндра и возбужденную в полости волны, а также найдем потенциалы смещений внутри слоя.
Вектор смещения в однородных изотропных средах также будет иметь всего две отличные от нуля компоненты:
Отраженная, возбужденная упругие волны, а также волны внутри однородного слоя являются решениями уравнений Гельмгольца. Причем их потенциалы также удовлетворяют уравнениям Гельмгольца и не зависят от координаты z. Следует иметь в виду, что вектор-функция будет иметь лишь одну отличную от нуля компоненту
, то есть
.
Отраженная волна должна удовлетворять условиям излучения на бесконечности:
, (2.2)
а прошедшая волна – условию ограниченности. Поэтому потенциалы смещений этих волн будем искать в виде:
- для отраженной волны:
, (2.3)
- для возбужденной волны:
, (2.4)
- для волны внутри слоя:
(2.5)
где ,
,
,
,
,
- волновые числа.
Заметим, что представления (2.3) - (2.5) можно получить, применив метод разделения переменных к уравнениям Гельмгольца для потенциалов в цилиндрической системе координат от двух переменных. Мы получим функции вида:
.
Для того, чтобы потенциал отраженной волны удовлетворял условию излучения на бесконечности, необходимо в качестве цилиндрической функции Бесселя выбрать цилиндрическую функцию Ханкеля первого рода
, в этом случае потенциалу соответствует расходящейся волне с учетом того, что временной множитель выбран в виде
. Для того, чтобы потенциал прошедшей волны удовлетворял условию ограниченности, необходимо в качестве цилиндрической функции Бесселя
выбрать цилиндрическую функцию Бесселя первого рода
.
- цилиндрическая функция Неймана.
Коэффициенты подлежат определению из граничных условий, которые заключаются в непрерывности смещений и напряжений на обеих поверхностях упругого слоя. Имеем:
при :
,
,
,
;
при :
,
,
,
; (2.6)
где - компоненты вектора смещения частиц,
- компоненты тензора напряжений в средах
(j=1) ,
(j=2),
(j=3) соответственно.
Компоненты вектора смещения связаны с потенциалами смещений следующим образом:
(2.7)