Математика / Курсовая работа: Мономиальные динамические системы

Курсовая работа: Мономиальные динамические системы

1.3 Линейные системы над конечными коммутативными кольцами

Теорема в предыдущей части показывает что для того чтобы решить, будет ли данная мономиальная система , над конечной областью , системой с конечными элементами, достаточно решить этот вопрос для связанных булевых систем, для которых определена линейная система над конечным кольцом . Поэтому остаётся развить критерий для линейных систем над конечными коммутативными кольцами, для того чтобы решить будет ли система – системой конечных элементов. Здесь мы сведем общий случай к имеющему первичную мощность.

Путь для взаимно простых целых чисел и , и пусть –линейная система для размерности . Выбрав изоморфизм получим, что – изоморфно к произведению , где и – линейные системы над и , соответственно. Используя факт того, что фазовое пространство является прямым произведением тогда, когда ориентированы графы фазовых пространств для и , мы получаем следующий результат.

Предположение 1.3.1.

Пусть для взаимно простых целых чисел и , и пусть – линейная система над размерности . Пусть и – линейные преобразования над и , соответственно. Тогда – система конечных элементов тогда, и только тогда, когда и – системы конечных элементов.

Имея цель развить критерий для изучения систем конечных элементов, достаточно изучить линейные системы над кольцами вида для простых чисел . Следующая теорема обеспечивает критерий для дальнейшего решения проблемы с линейной системой над областью простых чисел .

Теорема 1.3.1.

Пусть – линейное отображение, и пусть – проекционное отображение на . Тогда , где . Тогда фазовое пространство – изоморфно подграфу фазового пространства .

Доказательство.

Пусть определяется . Тогда легко проверить что , так как – линейные отображения для всех . Поэтому, прямо проверяется что тогда, и только тогда, когда , и, следовательно, фазовое пространство изоморфно подграфу фазового пространства .

Следствие 1.3.1.

Пусть – линейное отображение, и пусть – проекционное отображение на . Если не является системой конечных элементов, тогда – не является системой конечных элементов.

Пример 1.3.1.

Пусть определяется . Тогда .