Курсовая работа: Некоторые замечательные кривые

5.4 Особенности формы

5.5 Свойства нормали

5.6 Построение касательной

5.7 Задача

Заключение

Используемая литература

Введение

В данной работе мы рассмотрим некоторые замечательные кривые и их особенности.

В параграфе 1 будет рассмотрена строфоида, особенности её формы, стереометрическое образование и исторические сведения.

Во 2-м параграфе мы изучим циссоиду Диокла и некоторые формулы, связанные с ней.

В параграфе 3 узнаем метод построения, особенности формы и исторические сведения о кривой, называемой «Декартов лист».

В 4-м параграфе рассмотрим улитку Паскаля. Её определение, построение, особенности формы, свойства нормали и построение касательной. плоский кривой лемниската бернули строфоида

В параграфе 5 будет изучена лемниската Бернулли: определение, построение, исторические сведения, особенности формы, свойства нормали и построение касательной.

А также при помощи задач узнаем формулы кривых в прямоугольной декартовой и полярной системах координат.

1. Строфоида

1.1 Определение.

Прямая строфоида , или просто строфоида , определяется так: берём взаимно-перпендикулярные прямые AB, CD (рис.1) и на одной из них точку A; через неё проводим произвольую прямую AL, пересекающую CD в точке P. На AL откладываем отрезки PM_1, , PM₂ равные PO (O – точка пересечения AB и CD). Строфоида (прямая) есть геометрическое место точек M₁ ,M₂ .

Косая строфоида (рис.2) строится аналогично с той разницей, что AB и CD пересекаются косоугольно.

1.2 История вопроса

Строфоида была рассмотрена (вероятно, впервые) Ж. Робервалем в 1645 г. под именем птероиды. Нынешнее название введено Миди в 1849 г.

1.3 Стереометрическое образование

Представим себе цилиндрическую поверхность с осью CD (см. рис.1) и радиусом AO. Через точку A проведем перпендикулярную плоскости чертежа произвольную плоскость K (прямая AL – след этой плоскости). В сечении получим эллипс; его фокусы M₁ , M₂ описывают прямую строфоиду.

Косая строфоида строится аналогично с той лишь разницей, что цилиндрическая поверхность заменяется конической: ось конуса (OS на рис.2) проходит через O перпендикулярно AB; прямая UV, проходящая через B параллельно CD, – одна из образующих. Точки M₁ , M₂ – фокусы соответствующего конического сечения; косая строфоида расположена на обеих полостях конической поверхности и проходит через вершину S последней.

1.4 Особенности формы

Точка O – узловая; касательные к ветвям, проходящим через O, взаимно перпендикулярны (как для прямой, так и для косой строфоиды). Для косой строфоиды (рис.2) прямая UV служит асимптотой (при бесконечном удалении вниз). Кроме того, UV касается косой строфоиды в точке S, равноотстоящей от A и B.

У прямой строфоиды точка касания S «уходит в бесконечность» (при удалении вверх), так что прямая UV (см. рис.1) служит асимптотой для обеих ветвей.

1.5 Задача

Написать уравнение строфоиды в прямоугольной декартовой системе координат, осями которой являются прямые AB и CD, а направление оси OX определяется направлением оси строфоиды.