Курсовая работа: Некоторые замечательные кривые

Наиболее удаленным точкам G^' , H^' внутренней петли – значение

.

Соответствующее полярное значение полярного радиуса:

.

2) Когда (линия 2 на рис.6), внутренняя петля стягивается к полюсу и превращается в точку возврата, где движение по направлению луча OX сменяется движением в противоположном направлении. Наиболее удаленным от оси точкам L, M отвечают значения

.

Линия 2 называется кардиоидой , т.е. «сердцеобразной» (термин введен Кастиллоном в 1741г.). Она изображена отдельно на рис.7

3) Когда (линия 3; для неё ), улитка Паскаля – замкнутая линия без самопересечения; оторвавшись от полюса, она заключает его внутри себя. Наиболее удаленным от оси точкам L^' , N^' отвечает значение . Лишившись точки возврата, улитка приобретает взамен точки перегиба R, Q, которым отвечает значение . Угол ROQ, под которым отрезок RQ виден из полюса, по мере возрастания сначала возрастает от нуля до ; этому значению соответствует . При дальнейшем увеличении угол ROQ убывает, стремясь к нулю при .

4) При точки перегиба, сливаясь с вершиной C пропадают (причем кривизна в точке C становится равной нулю). Улитка приобретает овальную форму и сохраняет ее при всех значениях

(линия 4; для нее ). Наиболее удаленным от оси точкам L^'' , N^'' отвечает значение

.

4.4 Свойства нормали

Нормаль улитки Паскаля в ее точке M (рис.7) проходит через точку N основной окружности K, диаметрально противоположную той точке P, где OM пересекается с основной окружностью.

4.5 Построение касательной

Чтобы провести касательную к улитке Паскаля в ее точке M, соежиняем последнюю с полюсом O. Точку N основной окрудности K, диаметрально противополжную точке P, соединяем с M. Прямая MN будет нормалью к улитке. Проводя MTMN, получим искомую касательную.

4.6 Задача

Дана улитка Паскаля с полюсом в точке O. Написать уравнения в прямоугольной и полярной системах координат.

Решение:

Пусть начало координат – в полюсе O, ось OX направлена по лучу OB. Тогда уравнение в прямоугольной системе координат будет иметь вид:

. (1)

Строго говоря, это уравнение представляет фигуру, состоящую из улитки Паскаля и полюса O, который может и не принадлежать определенному выше геометрическому месту (такой случай имеет место для линий 3 и 4 на рис.6).

Уравнение в полярной системе (O – полюс, OX – полярная ось):

, (2)

где меняется от какого-либо значения до .

5. Лемниската Бернулли

5.1 Определение

Лемниската есть геометрическое место точке, для которых произведение расстояний от них до концов данно отрещка равно . Точки F₁ , F₂ называются фокусами лемнискаты; прямая F₁ F₂ – ее осью.

5.2 Исторические сведения