Курсовая работа: Некоторые замечательные кривые

В 1638 г. Р. Декарт, чтобы опровергнуть (неверно им понятое) правило П. Ферма для нахождения касательных, предложил Ферма найти касательную к линии . При обычном для нас толковании отрицательных координат эта линия, которую в 18 веке стали называть декартовым листом, состоит из петли OBAC (рис.4) и двух бесконечных ветвей (OI, OL).

Но в таком виде ее представил впервые Х. Гюйгенс (в 1692 г.). До этого линию представляли в виде четырех лепестков (один из них OBAC), симметрично расположенных в четырех координатных углах. Поэтому ее называли «цветком жасмина».

3.2 Построение

Чтобы построить декартов лист с диаметром петли проведем окружность A радиуса и какую-либо прямую GH, параллельную AO. Далее проведем прямые AA^̕ и OE, перпендикулярные AO, и отметим точки A^̕ , E их пересечения с GH. Наконец, отложим на луче OA отрезок OF = 3OA и проведем прямую FE. Теперь искомая линия строится по точкам следующим образом.

Через O проводим любую прямую ON и через точку N, где эта прямая пересекает (вторично) окружность, проводим NQAA^̕ . Точку Q, где NQ пересекает прямую OF соединяем с A^̕ и отмечаем точку K, где QA^̕ пересекает FE. Проводим прямую AK до пересечения с прямой GH в точке Q^̕ . Наконец, откладываем на прямой OA отрезок OP, равный и равнонаправленный с отрезком A^̕ Q^̕ . Прямая M₁ M₂ , проведенная через P параллельно AA^̕ , пересечет прямую ON в точке M₁ . Эта точка (а также точка M₂ , симметричная ей относительно AO), принадлежит искомой линии.

Когда точка N, исходя из O, описывает окружность A против часовой стрелки, точка M₁ описывает траекторию LOCABOI.

3.3 Особенности формы

Точка O – узловая. Касательные, проходящие через O, совпадают с осями координат. Прямая OA () есть ось симметрии. Точка , наиболее удаленная от узловой точки, называется вершиной (коэффициент выражает диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде OA петли, так что ). Прямая UV () – асимптота обеих бесконечных ветвей.

3.4 Задача

Написать уравнение декартова листа в прямоугольной системе координат и, приняв точку O за полюс, в полярной системе координат.

Решение:

Уравнение в прямоугольной системе:

.

Уравнение в полярной системе (OX – полярная ось):

.

4. Улитка Паскаля

4.1 Определение и построение

Даны: Точка O (полюс ), окружность K диаметра OB=a (рис.6), проходящая через полюс (основная окружность ; она показана на чертеже пунктиром), и отрезок . Из полюса O проводим произвольную прямую OP. От точки P, где прямая OP вторично пересекает окружность, откладываем в обе стороны от P отрезки . Геометрическое место точек M₁ , M₂ (жирная линия на рис.6) называется улиткой Паскаля – в честь Этьена Паскаля (1588 – 1651), отца знаменитого французского ученого Блеза Паскаля (1623 – 1662).

4.2 Исторические сведения

Термин «улитка Паскаля» предложен Ж. Робервалем , современником и другом Паскаля. Роберваль рассматривал эту линию как один из видов обобщенной конхоиды.

4.3 Особенности формы

Улитка Паскаля симметрична относительно прямой OB. Эта прямая (ось улитки) пересекает улитку: 1) в точке O (если последняя принадлежит улитке); 2) в двух точках A, C (вершины ). Форма линии зависит от соотношения между отрезками и .

1) Когда (линия 1 жирная; для неё ) улитка Паскаля пересекает сама себя в узловой точке O

,

Образуя две петли: внешнюю OHA₁ GO и внутреннюю OH^' C₁ G^' O. Угловой коэффициент касательных OD, OE в узловой точке:

.

Для построения касательных достаточно провести хорд OD, OE длины l в окружности K. Наиболее удаленным от оси точкам G, H внешней петли отвечает значение