Курсовая работа: Незалежні випробування

№8.При кожному окремому пострілі зі знаряддя ймовірність поразки мети дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що з 20 пострілів число вдалих буде не менш 16 і не більше 19.

Рішення.Обчислюємо по формулі Бернуллі:

№9.Незалежні випробування тривають доти, поки подіяАне відбудетьсяkраз. Знайти ймовірність того, що буде потрібноnвипробувань (n і k), якщо в кожному з них.

Рішення.ПодіяВ– рівноnвипробувань до k-го появи подіїА– є добуток двох наступних подій:

D – в n-ом випробуванніАвідбулося;

С – у перші(n–1)-ом випробуванняхАз'явилося(до-1)раз.

Теорема множення й формула Бернуллі дають необхідну ймовірність:

.

№10.З n акумуляторів за рік зберігання k виходить із ладу. Вибирають m акумуляторів. Визначити ймовірність того, що серед них l справних n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.

Рішення:Маємо схему Бернуллі з параметрами p=7/100=0,07 (імовірність того, що акумулятор вийде з ладу), n = 5 (число випробувань), k = 5-3 =2 (число "успіхів", несправних акумуляторів). Будемо використовувати формулу Бернуллі (імовірність того, що в n випробуваннях подія відбудеться k раз).

Одержуємо

№11.Пристрій, що складається з п'яти незалежно працюючих елементів, включається за час Т. Імовірність відмови кожного з них за цей час дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що відмовлять: а) три елементи; б) не менш чотирьох елементів; в) хоча б один елемент.

Рішення:Маємо схему Бернуллі з параметрами p = 0,2 (імовірність того, що елемент відмовить), n = 5 (число випробувань, тобто число елементів), k (число "успіхів", що відмовили елементів). Будемо використовувати формулу Бернуллі (імовірність того, що для n елементів відмова відбудеться в k елементах):. Одержуємо а)- імовірність того, що відмовлять рівно три елементи з п'яти.б)- імовірність того, що відмовлять не менш чотирьох елементів з п'яти (тобто або чотири, або п'ять). в)- імовірність того, що відмовить хоча б один елемент (знайшли через імовірність протилежної події - жоден елемент не відмовить).

№12.Скільки варто зіграти партій у шахи з імовірністю перемоги в одній партії, рівної 1/3, щоб число перемог було дорівнює 5?

Рішення: Число перемог k визначається з формули Тут p =1/3 (імовірність перемоги), q = 2/3 (імовірність програшу), n - невідоме число партій. Підставляючи даного значення, одержуємо:

Одержуємо, що n = 15, 16 або 17.

2 . Локальна формула Муавра-Лапласа

Легко бачити, що користуватися формулою Бернуллі при більших значеннях n досить важко, тому що формула вимагає виконання дій над величезними числами. Природно, виникає питання: чи не можна обчислити ймовірність, що цікавить нас,, не прибігаючи до формули Бернуллі.

В 1730 р. інший метод рішення при p=1/2 знайшов Муавр; в 1783 р. Лаплас узагальнив формулу Муавра для довільного p, відмінного від 0 і 1.

Ця формула застосовується при необмеженому зростанні числа випробувань, коли ймовірність настання події не занадто близька до нуля або одиниці. Тому теорему, про яку мова йде, називають теоремою Муавра-Лапласа.

Теорема Муавра-Лапласа. Якщо ймовірність p появи події А в кожному випробуванні постійне й відмінна від нуля й одиниці, то ймовірність того, що подія А з'явиться в n випробуваннях рівно k раз, приблизно дорівнює(тим точніше, чим більше n) значенню функції

При .

Є таблиці, у яких поміщені значення функції

,