Курсовая работа: Незалежні випробування

Рішення. n=5000; k=3; p=0,0001.

Шукана ймовірність

.

4 . Теорема Бернуллі про частоту ймовірності

Теорема. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність появи події дорівнює p, абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від імовірності появи події не перевищить позитивного числа , приблизно дорівнює подвоєної функції Лапласа при :

.

Доказ. Будемо вважати, що виробляється n незалежних випробувань, у кожному з яких імовірність появи події А постійна й дорівнює p. Поставимо перед собою задачу знайти ймовірність того, що відхилення відносної частоти від постійної ймовірності p по абсолютній величині не перевищує заданого числа . Інакше кажучи, знайдемо ймовірність здійснення нерівності

. (*)

Замінимо нерівність (*) йому рівносильними:

.

Множачи ці нерівності на позитивний множник , одержимо нерівності, рівносильні вихідному:

.

Тоді ймовірність знайдемо в такий спосіб:

.

Значення функції перебуває по таблиці(див. додаток 2).

Приклади

№20. Імовірність того, що деталь не стандартна, p=0,1. Знайти ймовірність того, що серед випадково відібраних 400 деталей відносна частота появи нестандартних деталей відхилиться від імовірності p=0,1 по абсолютній величині не більш, ніж на 0,03.

Рішення. n=400; p=0,1; q=0,9; =0,03. Потрібно знайти ймовірність . Користуючись формулою

,

маємо

.

По таблиці додатка 2 знаходимо . Отже, . Отже, шукана ймовірність дорівнює 0,9544.

№21. Імовірність того, що деталь не стандартна, p=0,1. Знайти, скільки деталей треба відібрати, щоб з імовірністю, рівної 0,9544, можна було затверджувати, що відносна частота появи нестандартних деталей(серед відібраних) відхилиться від постійної ймовірності p по абсолютній величині не більше ніж на 0,03.

Рішення. За умовою, p=0,1; q=0,9; =0,03; . Потрібно знайти n. Скористаємося формулою

.

У силу умови

Отже,