Курсовая работа: Общие свойства конечных групп с условием плотности для F субнормальных подгрупп

Ясно, что вопрос С.Н.Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если --- -замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно?

В таком виде вопрос С.Н.Черникова был исследован в работе для случая, когда --- класс всех -нильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда --- произвольная -замкнутая насыщенная формация либо -нильпотентных, либо -дисперсивных, либо сверхразрешимых групп.

1. Определение и основные свойства конечных групп с условием плотности для -субнормальных подгрупп

Опишем вначале общие свойства конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп, где --- произвольная насыщенная -замкнутая формация.

Группа называется группой с плотной системой -субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп и группы , из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе существует такая -субнормальная подгруппа , что . В этом случае также говорят, что множество -субнормальных в подгрупп плотно.

Пусть --- непустая -замкнутая насыщенная формация, --- подгруппа группы . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) ;

2) если -субнормальна в и является подформацией формации , то -субнормальна в .

Доказательство. 1) Из того, что

следует, что . Это значит, что .

2) Так как , то и . Отсюда следует, что каждая -нормальная максимальная подгруппа является -нормальной максимальной. Лемма доказана.

Пусть --- непустая -замкнутая насыщенная формация. Если множество всех -субнормальных подгрупп плотно в группе , то справедливы следующие утверждения:

1) если , то в множество всех -субнормальных подгрупп плотно ;

2) если --- подгруппа из , то множество всех -субнормальных подгрупп из является плотным в .

Доказательство. 1) Пусть --- нормальная подгруппа группы . В фактор-группе рассмотрим две произвольные подгруппы , из которых первая не максимальна во второй. Тогда и не максимальна в . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Следовательно, -субнормальна в .

2) Пусть --- подгруппа из и --- две произвольные подгруппы из такие, что не максимальна в . Тогда, по условию, в существует -субнормальная подгруппа , для которой . Ввиду леммы, -субнормальна в . Лемма доказана.

Если --- -субнормальная подгруппа группы , то

.

Доказательство. По определению, существует цепь

такая, что является -нормальной максимальной подгруппой в при любом . Таким образом, и потому

для каждого . Следовательно, .

Пусть --- непустая -замкнутая насыщенная формация, --- группа, у которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно. Справедливы следующие утверждения:

1) если --- -абнормальная максимальная подгруппа группы , то либо , либо каждая -абнормальная максимальная подгруппа из принадлежит ;

2) если и , то либо максимальна в , либо -субнормальна в .

Доказательство. Докажем сначала 1). Пусть --- -абнормальная максимальная подгруппа, не принадлежащая . Допустим, что обладает -абнормальной максимальной подгруппой , не принадлежащей . Тогда в имеется -абнормальная максимальная подгруппа . По условию, в найдется такая -субнормальная подгруппа , что . Ясно, что . По лемме ,

.

Так как -субнормальна, то она содержится в -нормальной максимальной подгруппе, и поэтому . Значит, . Последнее противоречит следующему: