Курсовая работа: Общие свойства конечных групп с условием плотности для F субнормальных подгрупп
Докажем 2). Пусть 
и 
. Допустим, что 
не максимальна в 
. По условию, в 
найдется такая 
-субнормальная подгруппа 
, что 
. Так как 
-замкнута, то 
. Поэтому -субнормальна в . Теперь ясно, что -субнормальна в . Лемма доказана.
Пусть --- насыщенная -замкнутая формация, --- группа с нормальной силовской 
-подгруппой 
, удовлетворяющая следующим условиям:
1) 
;
2) холлова 
-подгруппа 
-группы является максимальной в и принадлежит ;
3) любая собственная подгруппа из -субнормальна в .
Тогда является минимальной не -группой.
Доказательство. Из условия прямо следует, что совпадает с 
и является минимальной нормальной подгруппой в . Понятно, что каждая -абнормальная максимальная подгруппа из сопряжена с и поэтому принадлежит . Пусть 
--- произвольная -нормальная максимальная подгруппа из . Тогда 
. Так как -замкнута, то 
. Подгруппа 
является собственной в и по условию -субнормальна в . По теореме ,
.
Итак, каждая максимальная подгруппа из принадлежит . Лемма доказана.
2. Свойства максимальных подгрупп в группах с плотной системой -субнормальных подгрупп
В данном разделе изучаются свойства максимальных подгрупп конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп, где --- произвольная насыщенная -замкнутая формация.
Пусть далее 
--- некоторое фиксированное упорядочение множества всех простых чисел.
Пусть --- произвольная насыщенная -замкнутая формация, --- -дисперсивная группа с плотной системой -субнормальных подгрупп, не принадлежащая , у которой все -абнормальные максимальные подгруппы принадлежат . Тогда справедливо одно из следующих утверждений:
1) 
--- максимальная подгруппа в ;
2) --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе из .
Доказательство. Пусть --- группа минимального порядка, для которой лемма не верна. По теореме 
--- -группа. Пусть --- -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда содержит некоторую 
-холлову подгруппу 
. По нашему предположению, не максимальна в . Тогда по лемме -субнормальна в . Если --- -максимальный простой делитель 
, то подгруппа нормальна в . Тогда, по теореме ,
.
Противоречие. Пусть 
--- множество простых делителей порядка группы , больших при упорядочении . По доказанному выше множество не пусто. Тогда 
. По индукции 
максимальна в 
. Противоречие. Лемма доказана.
Пусть --- произвольная насыщенная -замкнутая формация, --- -дисперсивная группа с плотной системой -субнормальных подгрупп, не принадлежащая . Тогда любая -абнормальная максимальная подгруппа из либо принадлежат , либо является минимальной не -группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой.
Доказательство. Предположим, что утверждения леммы не выполняются и в существует -абнормальная максимальная подгруппа , не удовлетворяющая утверждениям леммы. Ввиду леммы и теоремы, 
, где 
--- -абнормальная максимальная подгруппа из , 
--- -группа, 
. Очевидно, что содержит некоторую -холлову подгруппу 
из .
1. Предположим, что 
. Если 
, то каждая -нормальная максимальная подгруппа группы будет иметь вид 
, где 
--- некоторая максимальная подгруппа из . Так как не максимальна в , то, по лемме , -субнормальна в
