Курсовая работа: Предельные точки

Выше я привела примеры некоторых операций над множествами. Существуют также такие операции, как разность двух множеств, Декартовое произведение множеств, отображение множеств, обратные функции, взаимно однозначные соответствия и пр.

1. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума

Понятие взаимно однозначного соответствия играет большую роль при перенесении представления о «количестве» элементов множества с конечных множеств на бесконечные. Это необходимо, поскольку мы постоянно имеем дело с бесконечными множествами. Вот некоторые из них. множество всех чисел натурального ряда; множество всех целых чисел (положительные, отрицательные целые числа и нуль).

О количестве точек множества можно говорить только для конечных множеств, а для бесконечных − нельзя. В этом случае говорят о мощности множества. Таким образом, мощность множества − это понятие, которое обобщает понятие «количество элементов» на случай бесконечных множеств. Если же множество конечно, то термины «мощность множества» и «количество элементов множества» − синонимы.

Множества и называются эквивалентными или равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Это обозначается так: ~. Свойства: ~; ~ ~;~,~ ~.

Если и эквивалентны, то говорят, что они имеют одинаковую мощность.

Можно привести важный пример эквивалентности бесконечных множеств.

Утверждение 1: Множество (натуральных чисел) и множество (рациональных чисел, т.е. всех дробей ) эквивалентны.

Доказательство: достаточно показать, как присвоить собственный номер каждому рациональному числу. Для этого представим каждое рациональное число в виде несократимой дроби:

Такое представление единственно. Высотой рационального числа назовем величину . Эта высота сама является натуральным числом, т.е. принимает значения 1,2,3,… и т.д. При фиксированном существует не более различных несократимых дробей, т.к. тогда знаменатель может принимать значения 1,2,…,, а для данного числитель числа может принимать не более двух значений: . Таким образом, с данной высотой число рациональных чисел не более .

Будем нумеровать дроби в порядке возрастания ; при фиксированном в порядке возрастания , а при фиксированных и - в порядке возрастания . Тогда получим:

и т.д. Ясно, что каждое рациональное число когда-нибудь получит свой порядковый номер. При этом все номера 1,2,3,… будут использованы и разные рациональные числа получат разные номера. Тем самым построено взаимно однозначное соответствие множеств и .

Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством.

Исходя из этого определения, можно упомянуть о некоторых теоремах:

1. Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество.

2. Всякое бесконечное подмножество счетного множества тоже счетно.

3. Сумма конечного числа счетных множеств – тоже счетное множество.

4. Сумма счетного множества счетных множеств – тоже счетное множество.

5. Сумма конечного или счетного множества множеств, каждое из которых конечно или счетно, есть конечное или счетное множество.

6. Множество всех рациональных чисел счетно.

7. Множество всех алгебраических полиномов с рациональными коэффициентами счетно.

Утверждение 2. Всякое непустое подмножество счетного множества конечно или счетно.

Доказательство: занумеруем элементы счетного множества и перенумеруем затем элементы подмножества в порядке возрастания этих номеров. Если мы исчерпаем все подмножество на конечном шаге, то оно конечно, иначе - счетно.

Утверждение 3. Сумма конечного или счетного числа счетных множеств счетна.

Доказательство. Проведем нумерацию элементов суммы множеств по схеме:

За шагов будут заведомо занумерованы все элементы .