Курсовая работа: Предельные точки

, и

Обратно, если имеет место 2), то, задав и подобрав так, как это сказано в 2), получим

и так как монотонно не убывает, то отсюда следует (6), т. е. 1).

Докажем теперь важную теорему.

Теорема 3. Функция , непрерывная на ограниченном замк­нутом множестве , равномерно непрерывна на нем.

Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда существует такое, что для любого натурального найдется пара точек

, , (7)

для которых

(8)

В силу ограниченности последовательности и замкнутости су­ществует подпоследовательность , сходящаяся к некоторой точке . В силу (7) тогда и , и потому вследствие непрерывности

«

1

2

3

4

5

6

»

• >>> Скачать <<<