Курсовая работа: Предельные точки

Теорема 1: совокупность всех подмножеств любого множества X сама образует множество, не эквивалентное X. Эта теорема (точнее, ее модификация ~) была доказана Г. Кантором (1845-1918) в 1874 г.

Доказательство: (от противного). Пусть ~. Значит имеется биективное соответствие Тогда, если , то ему однозначно соответствует . Теперь всякую точку назовем правильной, если она принадлежит своему образу, т.е., если . В противном случае эту точку будем называть особой точкой. Назовем дефектом множество , состоящее из всех особых точек . Тогда ясно, что является элементом множества . В силу наличия взаимно однозначного соответствия между и найдется такая точка . При этом сама точка обязана быть либо правильной, либо особой. Но первое не имеет места, поскольку тогда бы по определению правильной точки она принадлежала бы , что невозможно, т. к. ко множеству по построению отнесены только особые точки. Но второй случай приводит к противоречию, т. к. тогда по определению особой точки , а с другой стороны, тогда точка как особая точка должна войти в дефект по его построению.

Таким образом, предположение о существовании биекции между и во всех случаях ведет к противоречию, т. е. и не эквивалентны.

Следует отметить, что как результат, так и доказательство теоремы справедливы в том случае, когда есть пустое множество. Тогда мощность множества равна 0, а множество состоит ровно из одного элемента, т. е. самого и поэтому мощность равна .

Бесконечное множество называется несчетным, если оно не эквивалентно . По теореме 1 несчетным множеством, например, является множество подмножеств , а значит, множество последовательностей, составленных из 0 и 1.

Прием, с помощью которого доказана теорема 1, называется канторов диагональный процесс. Впервые он был применен Кантором в 1874 г. При доказательстве несчетности точек на отрезке. Этот процесс называется диагональным, потому что если в теореме 1 в качестве взять натуральный ряд , то получится, что множество подмножеств, т. е. совокупность последовательностей, составленных из нулей и единиц, не эквивалентно .

Мощность множеств, эквивалентных множеству всех последовательностей, составленных из нулей и единиц, называется мощностью континуума.

Утверждение 4. Множество точек отрезка имеет мощность континуума.

Доказательство: в двоичной записи каждая точка единичного отрезка может быть записана в виде

Такая запись единственна, за исключением чисел вида .А числам такого вида соответствуют в точности две записи (у одной, начиная с некоторого номера, все цифры равны нулю, а у другой – все единицы). Для всех точек, за исключением точек вида , установим соответствие так:

А так как множество точек вида счетно, то счетным множеством является также множество последовательностей, им соответствующих. Следовательно, между ними можно установить взаимно однозначное соответствие и тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и множеством последовательностей, составленных из нулей и единиц, т. е. множество точек отрезка имеет мощность континуума.

2. Замкнутые и открытые множества

Пусть задано множество .

Точка называется предельной точкой множества , если из того, что и , следует, что .

Предельная точка может принадлежать и не принадлежать , но если все предельные точки принадлежат , то множество называет­ся замкнутым.

Таким образом, множество замкнуто, если из того, что и , следует, что .

Пустое множество считается замкнутым.

Пример 1. Пусть есть функция, определенная и непрерывная на и — любое число.

Множества 1) , 2) , 3) замкнуты.

Доказательство в случае 1). Пусть и ; тогда и . Но тогда и , т.е. .

Пример 2. Шар V= есть замкнутое множество в силу

примера 1, потому что функция определена и непрерывна на .

Отметим, что если— замкнутое множество, то — открытое множество.

В самом деле, если бы это было не так, то в существовала бы точка ,которая не есть внутренняя точка . Выходит, что, каково бы ни было натуральное число , должна найтись точка, для которой

Мы получили бы последовательность точек , . Но по условию замкнуто, и потому . Мы получили противоречие с тем, что предполагалось, что .

Обратно, если — открытое множество, то — замкнутое множество.