Курсовая работа: Предельные точки

. (1)

Если функция , определенная на , непрерывна в любой точ­ке , то говорят, что непрерывна на .

Докажем две теоремы, выражающие замечательные свойства функ­ций, непрерывных на ограниченном замкнутом множестве; они обобща­ют соответствующие свойства непрерывных функций от одной перемен­ной, заданных на отрезке.

Теорема 1. Функция , непрерывная на замкнутом ограни­ченном множестве , ограничена на нем.

Доказательство. Допустим, что она не ограничена на ; тогда для любого натурального к найдется такая точка , что

(2)

Полученная последовательность ограничена. Из нее можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке Вследствие замкнутости точка принадлежит , а в силу непрерывности в на , и мы получили противоречие с неравенствами (2).

Теорема 2. Функция , непрерывная на замкнутом огра­ниченном множестве , достигает на нем своего максимума и минимума.

Доказательство. Из предыдущей теоремы известно, что ограничена на . Поэтому она имеет на конечные точные нижнюю и верхнюю грани:

Из свойства верхней грани следует, что для любого натурального най­дется точка такая, что

(3)

Полученная последовательность ограничена, и потому из нее мож­но выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке . В силу замкнутости точка принадлежит , и в си­лу непрерывности на . С другой стороны, из (3) следует, что этот предел должен равняться числу . Но тогда

.

Аналогично доказывается существование точки , в которой достигает минимума на :

.

Рассмотрим снова пока произвольное множество и опреде­ленную на нем не обязательно непрерывную функцию , но ограничен­ную на . Зададим число и введем величину

, (4)

называемую модулем непрерывности на множестве . В правой части (4) взята точная верхняя грань абсолютных величин разностей значений , соответствующих всевозможным парам точек , отстоящих друг от друга на расстоянии, меньшем .

Модуль непрерывности есть функция от , очевидно, неотрицатель­ная. Она не убывает, потому что если , то

Поэтому существует предел

(5)

Введем определение.

1) Функция называется равномерно непрерывной на множестве, если ее модуль непрерывности на стремится к нулю при , т.е.

(6)

Приведем другое эквивалентное определение.

2) Функция называется равномерно непрерывной на , если для любого найдется такое , что для любых с имеет место

Определение 1) влечет за собой 2).