Курсовая работа: Продольное и поперечное обтекание тел вращения

получим (3)

Будем искать частное решение этого уравнения в виде произведения двух функций от переменных l и m в отдельности

j = L( l ) M( m ) ; (4)

тогда в уравнении (2) переменные разделятся и из равенства

в силу независимости l и m будет следовать, что каждая из частей равенства должна быть постоянной. Полагая эту постоянную равной n (n+1) , где n – целое положительное число, получим для определения L(l) и М(m) два обыкновенных линейных уравнения второго порядка лежандрова типа

(5)

Этим уравнениям удовлетворяют[3] два класса независимых решений:

1) функции Лежандра 1-го рода – полиномы Лежандра P_n (х) , определяемые равенствами

2)

P₀ (x) = 1, Р₁ (х) = х, P₂ (x) = 0.5 (Зх² -1), P₃ (x) = 0.5 (5x³ -3x),…

и рекуррентным соотношением для вычисления последующих полиномов

(n + 1) P_{n +1} (х) = (2n + 1) хР_n (х) – nР_n-1 (х);

2) функции Лежандра 2-го рода Q_n (х) , определяемые равенствами

и рекуррентным соотношением

(n + 1) Q_n+1 (х) = (2n + 1) xQ_n (х) – nQ_n-1 (х),

совпадающим с предыдущим соотношением для полиномов Лежандра.

Представим решение уравнения (3) как сумму двух потенциалов: 1) потенциала j_¥ однородного потока, набегающего на тело со скоростью U _¥ ; этот потенциал по первой из формул (1) будет равенj _¥ = U _¥ x = U _¥ c l m . и 2) потенциала j' скоростей возмущений, который выразим суммой частных решений (4).

Функция P_n (х) , как полином n -й степени, обращается в бесконечность при бесконечно возрастающем аргументе, функция же Q_n (х) при этом стремится к нулю, но зато логарифмически бесконечна при х = ± 1 . В случае внешнего обтекания тела координата l = ch x может достигать бесконечных значений, а координата m ограничена. Примем во внимание, что потенциал скоростей возмущенного движения (т.е. обтекания за вычетом однородного потока со скоростью, равной скорости на бесконечности) должен стремиться к нулю при удалении от поверхности тела, причем .

Из приведенных соображений следует, что искомые частные решения должны иметь вид произведений Q_n ( l ) P_n ( m ) (n = 1, 2,…);

подчеркнем, отсчет n при суммировании начинается с единицы, а не с нуля. Это подтверждается наличием следующих очевидных асимптотических равенств, справедливых при больших значениях l, а, следовательно, согласно (1), и R = = Ö х² + r² , имеющего тот же порядок, что иl:

Таким образом, будем иметь правильный порядок убывания j' на бесконечности, если положим

, (6)

где A_n - постоянные коэффициенты, зависящие от формы поверхности тела.

Складывая потенциалы j_¥ и j', получим искомый потенциал скоростей продольного обтекания тела вращения со скоростью на бесконечности, равной U _¥ ,

(7)

Для определения коэффициентов A_n найдем выражение функции тока y. По формуле (2) будем иметь