Курсовая работа: Продольное и поперечное обтекание тел вращения

(17)

3.Продольное и поперечное обтекание удлиненных тел вращения

В большинстве практических приложений приходится иметь дело с телами вращения, удлинение которых, т.е. отношение длины к максимальной толщине, довольно велико (порядка 8–12). Это объясняется хорошей обтекаемостью такого рода тел реальной жидкостью.

Расчет обтекания тел вращения большого удлинения может быть произведен приближенным методом. Изложим его основную идею[5] .

Основным затруднением в решении задачи является определение коэффициентов А_n при продольном и С_n – при поперечном обтекании тела. Чем проще будет связь между l и m, определяющая форму контура в меридианной плоскости, тем меньше коэффициентов А_n , С_n можно брать в разложениях потенциала скоростей. Самая простая связь представляется равенством l = const, т.е. случаем обтекания эллипсоида. Отсюда следует вывод: чем ближе исследуемое тело по форме к эллипсоиду, тем легче может быть разрешена задача. В связи с этим решим, прежде всего, вопрос о выборе положения начала координат на продольной оси тела. Замечу, что фокусы удлиненного эллипсоида вращения находятся посередине отрезка, соединяющего точки пересечения большой оси и поверхности эллипсоида с центром кривизны поверхности в этих точках. Начало координат следует выбирать совпадающим с серединой отрезка, соединяющего фокусы; при таком выборе начала координат, чем ближе обтекаемое тело к эллипсоиду, тем меньше уравнение контура будет отличаться от простейшего равенства l = const.

Если обтекаемое тело имеет большое удлинение, то поверхность его располагается в области значений l, мало превышающих значение l = сhx = 1 или x = 0, соответствующее отрезку оси Oz , соединяющему фокусы. Рассматривая значения функций Q_n ( l ) и dQ_n /d l при l, лишь немного превышающих единицу, убедимся, что при достаточно малых x будут иметь

место равенства

(18)

где g_n и d_n – малые по сравнению с первыми членами поправки. Замечательно, что согласно равенствам (18), при малых x все функции Q_n и dQ_n /d l в первом приближении не зависят от индекса n. Основное граничное условие продольного обтекания (9) в первом приближении будет, согласно (18), иметь вид

(19)

где производная dP_n /d m представляет известную функцию величины m = cos h. Ограничивая сумму некоторым фиксированным числом членов n = m , можно, пользуясь выражениями полиномов Лежандра (из § 1), написать тождество

(20)

из которого можно вывести выражения коэффициентов A_n через a_n . Так, например, приm = 5 имеем

A₁ = a₁ – 3/5 a₃ + 3/35 a₅ , A₂ = a₂ – 9/7 a₄ , A₃ = 8/5 a₃ – 32/15 a₅ ,

A ₄ = 16/7 a ₄ , A ₅ = 64/21 a ₅ .

Представив контур меридианного сечения приближенным тригонометрическим разложением в эллиптических координатах

(21)

определим тем самым числа а_n , а уже после этого, согласно тождеству (20), и величины коэффициентов A_n , что и дает первое приближение к решению задачи об осесимметричном продольном обтекании удлиненного тела вращения. Если удлинение обтекаемого тела велико, то указанное приближение оказывается для практики достаточным. При желании можно учесть в формулах (18) остаточные члены g_n и d_n , что приведет ко второму и следующим приближениям.

Аналогичным путем решается вопрос о поперечном обтекании удлиненного тела вращения. При плавности контура l изменяется в пределах от 1 + ½ x² _min до 1 + ½ x² _max ; при этом m остается в пределах ±1. Таким образом, можно считать, что производная d l /d m имеет порядок x² _max , т.е. сравнительно мала. Отсюда следует, что величина

имеет порядок единицы. Рассматривая граничное условие (17) видим, что стоящая в квадратной скобке слева величина

мала по сравнению с величиной . Действительно,

Таким образом, в квадратной скобке в левой части равенства (*) первый одночлен имеет при малых x порядок 1/x² , второй – ln 1/x.

Из приведенного рассуждения следует, что на поверхности удлиненного тела вращения, где x мало, точное граничное условие поперечного обтекания (17) может быть заменено на приближенное

(22)

Сравнивая это граничное условие с приближенным граничным условием продольного обтекания (19), видим, что между искомыми коэффициентами A_n и C_n существует простое соотношение

C_n = -2 A_n / n ( n +1). (23)