Курсовая работа: Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса

А₂ - второе растение здоровое;

А₁ +A₂ - хотя бы одно растение здоровое.

Так как события А₁ и А₂ совместимые, то согласно формуле (5)

P(А₁₊ А₂ ) = P(А₁ ) + P(А₂ ) = 0,95 + 0,95 - 0,95 · 0,95 = 0,9975 ≈ 1 [4, 28].

Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность события А, которое может нacmупить лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий В₁ , В₂ , ... В_n , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

(6)

(формула полной вероятности).

Доказательство. Событие А может наступить лишь при условии наступления одного из событий B₁ , В₂ , ..., B_n , т.е. А = B₁ А + В₂ А + ... +, B_n А причем ввиду несовместимости событий B₁ , В₂ , ..., B_n А события B₁ А, В₂ А, ..., B_n А также несовместимы. По этому на основании теорем сложения и умножения вероятностей имеем

Пример 1. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находят две белые мыши и одна серая, во втором - три белые и одна серая, в третьей две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?

Обозначим: B₁ - выбор первого ящика, B₂ - выбор второго ящика, В₃ - выбор третьего ящика, А - извлечение белой мыши. Так как все ящики одинаковы, то P(В₁ )= Р(В₂ ) = Р(В₃ ) =.

Если выбранпервый ящик, то (А) = . Аналогично (А) = , (A) = . Наконец, поформуле (6) получаем [8, 22].

Формула Бейеса

Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается: как изменились (в связи с тем, что событие А уже произошло) ве­личины P(B_k ), k = 1,... , п.

Найдем условную вероятность Р_A (В_k ).

По теореме умножения вероятностей и формуле (3) имеем:

Отсюда:

Наконец, используя формулу полной вероятности, находим

(k=1, 2, …, n). (7)

Формулу(7) называют формулой Бейеса (Байеса)

Пример. Большая популяция людей разбита на две группы одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечнососудистых заболеваний составило в этих группах соответственно 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к контрольной группе?

Введем обозначения для событий:

А - случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание;

B₁ - человек придерживался специальной диеты;

В₂ - человек принадлежал к контрольной группе. Имеем

Р(В₁ ) = Р(В₂ ) = 0,5,

(A) = 0,31, (A) = 0,48.