Рассмотрим дифференциальное уравнение (7) y^/ =f(x,y) с начальным условием y(x₀ )=y₀ . Разобьем наш участок интегрирования на n равных частей. На малом участ интегральную кривую заменим прямой линией.

Рисунок 1 Метод Эйлера в графическом виде

Получаем точку М_к (х_к ,у_к ). Через М_к проводим касательную:

у=у_к =f(x_k ,y_k )(x-x_k )

Делим отрезок (х_к ,х_к1 ) пополам

x_Nk ^/ =x_k +h/2=x_{k +1/2} (12)

y_Nk ^/ =y_k +f(x_k ,y_k )h/2=y_k +y_{k +1/2}

Получаем точку N_k ^/ . В этой точке строим следующую касательную:

y(x_{k +1/2} )=f(x_{k +1/2} , y_{k +1/2} )=α_k (13)

Из точки М_к проводим прямую с угловым коэффициентом α_к и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Х_к1 . Получаем точку М_к ^/ . В качестве у_к+1 принимаем ординату точки М_к ^/ . Тогда:

у_к+1 =у_к +α_к h

x_{k +1} =x_k +h

α_k =f(x_{k + h /2} , y_k +f(x_k ,Y_k )h/2) (14)

y_k =y_k-1 +f(x_k-1 ,y_k-1 )h (14)

(14)-рекурентные формулы метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции у_к+1/2 в точках х_к+1/2 , затем находят значение правой части уравнения (11) в средней точке y^/ _{k +1/2} =f(x_{k +1/2} , y_{k +1/2} ) и определяют у_к+1 .

Для оценки погрешности в точке х_к проводят вычисления у_к с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:

| у_к ^* -у(х_к )|=1/3(y_k ^* -y_k ), (15)

где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.

Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение второго порядка y^// =f(y^/ ,y,x) c начальными условиями y^/ (x₀ )=y^/ ₀ , y(x₀ )=y₀ , выполняется замена

y^/ =z (16)

z^/ =f(x,y,z)

Тем самым преобразуются начальные условия

y(x₀ )=y₀ , z(x₀ )=z₀ , z₀ =y^/ ₀ (17)

1.5 Практическая часть

Здесь решается уравнение dy/dx = 2x-y+x² на интервале [0,2], начальное значение y(0)=0, для оценки точности задано также точное решение в виде функции u(x)=x² . Оценка погрешности делается в нормеL₁ , как и принято в данном случае

Рисунок 2

2 Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad