Курсовая работа: Решение краевых задач в среде виртуальной гибридной машины
Значение функции на удалении h от некоторой точки 
можно выразить через значения производных в этой точке, разложив ее в ряд Тэйлора:
где 
- оператор дифференцирования,
- оператор сдвига, выраженный через оператор p .
h- шаг по оси действительной переменной
Из равенства операторов сдвига, выраженных через p и 
, можно получить взаимосвязь этих линейных операторов:
,
Оператор дифференцирования порядка n, перенесенный в точку, например, на 2 шага вперед представляется так:
Если алгебраически перемножить многочлены с конечно-разностными операторами и ограничиться операторами со степенью не выше n, то получится одна из возможных аппроксимаций оператора дифференцирования. Например, для n=2 и четырех точечном задании функции f(x), отбросив повторные разности выше третьего порядка, получим:
.
Выразив повторные разности через ординаты табличной функции, получим второй вариант аппроксимации оператора дифференцирования:
.
Для целочисленного аргумента табличной функции запись выражения можно упростить, так как шаг h=1 и 
:
.
Для k-той производной в точке m от начала интервала [0,n]:
 |
После выполнения операций возведения многочленов в степень и их перемножения, конечные разности со степенями больше n отбрасываются, а оставшиеся 
заменяются выражением 
. Раскрыв скобки, подставив 
и сгруппировав подобные члены, получим аппроксимирующую сумму из (n+1)-й ординаты функции:
.
Коэффициенты 
минимальны для точек середины интервала (m=n/2) и максимальны - для крайних. Аналогично ведут себя и коэффициенты в выражении погрешности аппроксимации.
Таким образом, для любой внутренней точки из группы выбранных равномерно расположенных ординат можно сформировать выражение, аппроксимирующее производную взвешенной суммой.
1.4 Представление уравнений конечно-разностной моделью
При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями.
Для аппроксимации таких уравнений удобно заранее построить таблицы коэффициентов для выражений производных по заданному числу значений функции. В бакалаврской работе воспользуемся аппроксимацией по трем и пяти точкам, коэффициенты для которых приведены в таблицах 1, 2, 3, 4. В крайних справа колонках таблиц приведены коэффициенты выражений, вынесенных в заголовок колонки, для погрешности аппроксимации производной в выбранной точке. В выражениях погрешности присутствуют значения производных функции с порядками выше порядка аппроксимируемой производной.
Таблица 1 - Аппроксимация первой производной по трем точкам
|
|
y(0) |
y(1) |
y(2) |
|
|
К-во Просмотров: 319
Бесплатно скачать Курсовая работа: Решение краевых задач в среде виртуальной гибридной машины
|
