Курсовая работа: Резонатор на основе прямоугольного волновода

Проведенное ранее исследование наводит на мысль о том, что среди всевозможных решений таких уравнений должны быть особо выделены функции вида трехмерных стоячих волн

~(16)

со всевозможными комбинациями трех гармонических сомножителей. Прямая подстановка выражения (16) в уравнение (15) приводит к следующему выводу: уравнение Гельмгольца для резонатора имеет решение не при любом значении коэффициента фазы , а лишь в том случае, когда этот параметр принадлежит дискретной совокупности, определяемой выражением

(22)

где m, n, p – положительные целые числа, не равные нулю одновременно. Отсюда естественным образом вытекает полученное ранее соотношение для расчета резонансных длин волн вида (12).

Теперь учтем, что на идеально проводящих стенках резонатора касательные составляющие электрического вектора должны обратиться в нуль. В развернутой форме это требование означает, что

при

при (18)

при

Равенства (18) позволяют конкретизировать допустимые решения и записать их так:

(19)

где А, В, С—не известные пока коэффициенты.

Далее следует принять во внимание то, что проекции электрического вектора внутри резонатора обязаны не только удовлетворять уравнению Гельмгольца (15), но и соответствовать векторному полю без источников, для которого

(20)

Подставив выражения (19) в формулу (20), приходим к выводу о том, что между амплитудными коэффициентами должна существовать линейная связь

(21)

Будем рассматривать поле колебания типа Emnp, для которого или в соответствии со вторым уравнением Максвелла

Отсюда получаем ещё одно уравнение связи

(22)

Решая систему алгебраических уравнений (21) и (22) относительно неизвестных A и B, получаем

(23)

Итак, комплексные амплитуды проекций вектора напряженности электрического поля для колебания типа Emnp в прямоугольном объёмном резонаторе имеют вид

(24)

где С – произвольный амплитудный коэффициент.

Комплексные амплитуды декартовых проекций магнитного вектора

(25)

Проекции векторов электромагнитного поля для резонаторных мод типа Hmnp находят аналогичным способом.

Пример решения задачи