Курсовая работа: Симметpия относительно окpужности

Нетрудно заметить, что точки касания исходных окружностей, за исключением точки A (которую инверсия забросит в бесконечность), отобразятся в точки касания образов. Докажем теперь, что B¢, C¢ и D¢ лежат на одной прямой. Так как (KB¢)||(LD¢), то ÐB¢KC¢ = ÐC¢LD¢. Отсюда следует равенство ÐKC¢B¢ = ÐLC¢D¢ (DKC¢B¢ и DLC¢D¢ являются равнобедренными), поэтому B¢, C¢ и D¢ лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую через c и подействуем на нее снова инверсией inv_O ^R . Ее образ - это окружность inv_O ^R (c), которая проходит через центр инверсии, точку A, а также через точки B = inv_O ^R (B¢), C = inv_O ^R (C¢) и D = inv_O ^R (D¢).

Геометрия Мора-Маскерони

Теория построения одним циркулем получила свою известность благодаря книге "Геометрия циркуля"(1797 г.) Лоренцо Маскерони³ . Значительно позже в одном из букинистических магазинов была обнаружена книга датского математика Георга Мора "Датский Евклид", датированная 1672 годом! Обе книги содержат основной результат геометрии циркуля:

Теорема Мора-Маскерони. Все построения, выполненные с помощь циркуля и линейки, могут быть проделаны только с помощью циркуля (при этом мы считаем прямую построенной, если найдены хотя бы две точки этой прямой).

Для доказательства этой теоремы достаточно научиться находить только с помощью циркуля пересечения двух прямых, прямой и окружности, что и составляет проблему D. Сначала рассмотрим решения задач B и C, которые носят вспомогательный характер.

Решение B. Чтобы разделить отрезок [AB] на n равных частей, сначала увеличим его в n раз, т.е. найдем точку C, что |AC| = n|AB|. А затем построим точку C¢ - образ точки C при инверсии относительно окружности w(A,|AB|). Из соотношения |AC|·|AC¢| = |AB|² получаем |AC¢| = |AB|/n. Все указанные построения можно выполнить только с помощью циркуля (для этого даже не нужна прямая (AB)).

Решение C. Выберем произвольную точку O окружности w₁ (X,r), центр X которой нам нужно определить (рис. 8).

Рис. 8

Из точки O проведем произвольную окружность w(O,R) так, чтобы она пересекала исходную окружность w₁ . Обозначим точки пересечения wÇw₁ через A и B. Куда перейдет прямая (AB) при инверсии inv_O ^R ? Конечно же в w₁ , поскольку точки A и B остаются неподвижными (свойства II и VI). По свойству VII центр inv_O ^R ((AB)) (т.е. центр w₁ ) является образом точки S_(AB) (O) при inv_O ^R . Из этих рассуждений следует цепочка необходимых построений. Сначала находим точку O₁ = S_(AB) (O), симметричную O относительно прямой (AB) (школьная задача). А затем строим образ точки O₁ при inv_O ^R , он и будет искомым центром. Все указанные построения выполняются только с помощью циркуля.

Решение D. Опишем поиск пересечения двух прямых только с помощью циркуля. Пусть даны точки A, B, C и D (рис. 9).

Рис. 9

Выберем точку O так, чтобы она не лежала на прямых a = (AB) и b = (CD). При инверсии inv_O ^R прямые a и b должны перейти в окружности inv_O ^R (a) и inv_O ^R (b), а их точка пересечения отобразится в точку пересечения окружностей inv_O ^R (a) и inv_O ^R (b), отличную от точки O (свойства VI и I). Теперь необходимые построения становятся очевидными: с помощью свойства VII строим окружности inv_O ^R (a) и inv_O ^R (b), находим точку пересечения этих окружностей - точку X, и снова действуем инверсией уже на точку X. Точка Y = inv_O ^R (X) является искомой. Пересечение прямой и окружности находится похожим образом.

Теперь терема Мора-Маскерони следует из решений задач B, C и D.

Задача Аполлония

В этом параграфе рассмотрим задачу о построении окружности, касающейся трех данных окружностей, названную в честь крупнейшего специалиста по коническим сечениям древности Аполлония Пергского⁴ . Решению проблемы G предшествуют решения задач E и F.

Решение E. Чтобы построить окружность w₂ , проходящую через точки A и B и касающуюся данной окружности w₁ , рассмотрим инверсию с центром в точке O = A относительно окружности произвольного радиуса R. Образом w₂ при инверсии inv_O ^R должна быть некоторая прямая a, проходящая через точку B¢ = inv_O ^R (B) и касающаяся окружности inv_O ^R (w₁ ) (свойства VIII и IX). Касательные из произвольной точки X к произвольной окружности w(Y,r) провести довольно легко: для этого достаточно построить вспомогательную окружность w¢ на диаметре [XY] и соединить X с точками пересечения wÇw¢. Теперь выполняем необходимые построения в следующем порядке: находим B¢ = inv_O ^R (B) и inv_O ^R (w₁ ), через точку B¢ проводим касательные a и b к окружности inv_O ^R (w₁ ), строим образы inv_O ^R (a) и inv_O ^R (b) при инверсии inv_O ^R . В зависимости от расположения точки B¢ относительно окружности inv_O ^R (w₁ ) может быть два, одно и ни одного решения (например, когда B¢ находится внутри inv_O ^R (w₁ )).

Решение F. Для решения этой задачи достаточно уметь проводить общую касательную к двум произвольным окружностям w(X,r) и w¢(Y,R). Будем считать, что r < R. Проведем из точки X касательную a к окружности w₁ (Y,R-r) (рис. 10), тогда искомая внешняя касательная b к окружностям w и w¢ будет параллельна прямой a и находится от нее на расстоянии r.

Рис. 10

Для проведения внутренней касательной вместо w₁ (Y,R-r) надо рассмотреть окружность w₂ (Y,R+r). В общем случае возможно до четырех решений. Теперь вернемся к исходной задаче. Пусть даны точка A и две окружности w₁ и w₂ . Искомая окружность w, проходящая через A и касающаяся w₁ и w₂ , при инверсии с центром O = A должна перейти в некоторую прямую a, которая касается окружностей inv_O ^R (w₁ ) и inv_O ^R (w₂ ) (свойства VIII и IX). Таким образом, приходим к следующему порядку построений: находим inv_O ^R (w₁ ) и inv_O ^R (w₂ ), проводим общие касательные (a,b,c,d) и строим образы этих касательных при inv_O ^R . В общем случае получится до четырех искомых окружностей, однако в одном случае решений будет бесконечно много (представьте, что произойдет после инверсии с окружностями w₁ и w₂ , если они касаются в точке A).

Решение G. Задача Аполлония легко сводится к предыдущей задаче. Пусть даны окружности w₁ (O₁ ,r₁ ), w₂ (O₂ ,r₂ ) и w₃ (O₃ ,r₃ ), и r₁ < r₂ < r₃ . Построим окружность w(O,R), проходящую через точку O₁ и касающуюся окружностей

w₂ (O₂ ,r₂ -r₁ ) и w₃ (O₃ ,r₃ -r₁ ). Уменьшив радиус окружности w на r₁ , т.е. рассматривая w(O,R-r₁ ), приходим к одной из искомых окружностей. Количество решений исследовать самим (кажется, исключая бесконечный случай, возможно до восьми решений).

Изменение расстояния при инверсии

Основой исследований в этом параграфе будет формула V для вычисления расстояния между образами точек A и B при инверсии относительно w(O,R): |A¢B¢| = |AB|R² /(|OA|·|OB|). Из этой формулы сразу видно, что расстояние при инверсии для произвольных точек A и B не сохраняется и искажение расстояния происходит сильнее при приближении точек A и B к центру окружности инверсии. Прежде чем установить менее очевидный факт, введем важное в теории круговых преобразований⁵ понятие двойного отношения четырех точек.

Определение. Двойным отношением четырех точек A, B, C и D называют число

|AC|

|BC|:|AD|

|BD|.

Теорема. Двойное отношение четырех точек сохраняется при инверсии.

Доказательство. Обозначим через A¢, B¢, C¢ и D¢ соответственно образы точек A, B, C и D при инверсии относительно окружности w(O,R). Тогда из формулы V имеем