Курсовая работа: Симметpия относительно окpужности

Рис. 12

По свойству IX отрезок [inv_O ^r (X) inv_O ^r (Y)] является диаметром окружности

inv_O ^r (w₁ ), а по свойству V его длина равна

|X¢Y¢| = |XY|

|OX|·|OY|·r² = 2Rr²

|R-d|·|R+d|= 2Rr²

R² -d² .

Учитывая, что |X¢Y¢| = 2R¢, где R¢ - радиус окружности inv_O ^r (w₁ ), получаем формулу

R¢ = Rr²

R² -d² .

Возвращаясь к образу описанной окружности при инверсии относительно w(O,r), имеем

r

2= Rr²

R² -d² ÞR² -d² = 2RrÞd² = R² -2Rr.

Закончим этот параграф одним совершенно неожиданным результатом. Сначала напомним некоторые определения и факты. Окружностью Эйлера треугольника ABC называется окружность, проходящая через середины его сторон. На этой окружности также лежат основания высот DABC и середины трех отрезков, соединяющих ортоцентр этого треугольника (т.е. точку пересечения его высот или их продолжений⁷ ) с вершинами. Поскольку на окружности Эйлера лежат девять точек, естественно связанных с треугольником ABC, ее называют еще окружностью девяти точек. Вневписанной окружностью треугольника ABC называется окружность, касающаяся стороны этого треугольника и продолжений двух других его сторон. В следующей лемме перечисляются некоторые свойства вневписанной окружности.

Лемма 1. Пусть |AB| = c, |AC| = b, |BC| = a, p - полупериметр DABC, O₁ и O_a - центры вписанной (w₁ ) и вневписанной (w_a ) окружностей (рис. 13), r₁ и r_a - их радиусы, X и X_a - точки касания этих окружностей со стороной [BC], K и L - с прямой (AC), M и N - с прямой (AB). Пусть также (B₁ C₁ ) - общая внутренняя касательная к w₁ и w_a , отличная от (BC). Тогда

|AL| = p;

|AK| = p-a, |CK| = p-c, |BX| = p-b;

|BX| = |CX_a |;

|BC₁ | = |B₁ C| = |b-c|;

pr₁ = r_a (p-a);

r₁ r_a = (p-b)(p-c).

Рис. 13

Доказательство. 1) Следует из 2|AL| = |AL|+|AN| = (|AC|+|CX_a |)+(|AB|+|BX_a |) = 2p.

2) Первое равенство получается из 2|AK| = |AK|+|AM| = (|AC|-|CX|)+(|AB|-|BX|) = 2p-2a. Остальные доказываются аналогично.

3) Из 2) и 1) имеем |BX| = p-b = |AL|-|AC| = |CL| = |CX_a |.

4) При симметрии относительно биссектрисы [AO_a ) угла ÐBAC окружности w₁ и w_a остаются неподвижными и отрезок [BC] одной внутренней касательной переходит в отрезок [B₁ C₁ ] другой внутренней касательной. Отсюда |BC₁ | = |B₁ C| и |C₁ N| = |CL|. Из последнего равенства в предположении b > c получаем |BC₁ | = |AN|-|AB|-|CL| = p-c-(p-b) = b-c.