Курсовая работа: Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь Фундаментальна сукупність розвязків
2. Всі невідомі в залишених нами рівняннях, коефіцієнти при яких не входять в базовий мінор, переносимо в праву частину рівняння (ці невідомі називають вільними).
3. Надаючи вільним невідомим довільних значень, знаходимо значення інших r невідомих (ці невідомі називаються головними).
Одержавши всі можливі розв'язки системи (2.2), ми можемо вибрати з них лінійно незалежні розв'язки. Для цього потрібно вільним невідомим (а їх є n-r, де 
), наприклад, 
надавати такі сукупності значень 
(i=1,...), щоб ці n-r-вимірні вектори виявилися лінійно незалежними. Таких векторів можна вибрати n-r. Для кожного з цих лінійно незалежних n-r-вимірних векторів, компонентами яких є значення вільних невідомих, знаходимо відповідні значення головних невідомих 
, де (i=1,...,n-r). Тоді n-вимірні вектори 
(i=1,...,n-r) є лінійно незалежними розв'язками системи (2.2). Таку систему розв'язків системи (2.2) лінійних однорідних рівнянь називають лінійно незалежною.
Зрозуміло, що лінійно незалежна система розв'язків системи (2.2) знаходиться неоднозначно. Це пов'язано з тим, що базовий мінор матриці системи (2.2) знаходиться неоднозначно, а, потім, довільним чином добираються лінійно незалежні рядки значень вільних невідомих. Будь-яка лінійно незалежна система розв'язків системи (2.2) лінійних однорідних рівнянь називається її фундаментальною системою .
Якщо вже вибрана деяка фундаментальна система розв'язків системи (2.2), наприклад 
, то будь-який розв'язок 
цієї системи є лінійною комбінацією розв'язків фундаментальної системи, тобто 
, і навпаки, будь-яка лінійна комбінація розв’язків фундаментальної системи є розв'язком системи (2.2). Якщо коефіцієнти 
цієї лінійної комбінації вважати довільними, то вона (тобто, ця лінійна комбінація) називається загальним розв'язком системи (2.2).
Серед фундаментальних систем розв'язків системи (2.2) виділяють нормальну фундаментальну систему, яка відповідає таким лінійно незалежним n-r-вимірним векторам значень вільних невідомих (1,0,...,0), (0,1,…,0),...,(0,0,...,1) (тут кожний з n-r-векторів є n-r-вимірним).
Нехай (2.1) — довільна неоднорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь, (2.2) — відповідна їй однорідна система. Якщо вектор 
—довільний розв'язок системи (2.1), а 
— довільний розв'язок системи (2.2), то 
є знову ж таки розв'язком неоднорідної системи лінійних рівнянь (2.1). Будь-який розв'язок лінійної неоднорідної системи (2.1) дорівнює сумі деякого розв’язку цієї системи і загального розв'язку відповідної їй однорідної системи (2.2). Такий розв'язок системи (2.1) називають її загальним розв’язком.
Зауважимо також, що різниця двох розв'язків системи (2.1) є розв’язком системи (2.2).
2. Приклади розв’язання завдань.
Завдання 1. Знайти фундаментальну систему розв'язків та загальний розв'язок системи лінійних однорідних рівнянь:
Розв'язання. Кожна система лінійних однорідних рівнянь є сумісною. Знаходимо ранг матриці А цієї системи.
А = 
Матриця А — ненульова, отже, 
Обчислюємо мінори третього порядку матриці А, одержані обведенням відмінного від нуля мінора 
другого порядку. Звернемо увагу на те, що третій і четвертий стовпці матриці А пропорційні відповідно першому та другому її стовпцям. Тому мінори, утворені обведенням за допомогою як третього, так і четвертого стовпців, дорівнюють нулю. Залишається обчислити ще два мінори, утворені обведенням за допомогою п'ятого стовпця.
Таким чином, ранг матриці А дорівнює 2. Зважаючи на те, що її базовий мінор розташовано в лівому верхньому куті матриці А, залишаємо в системі тільки перші два рівняння, а в їх лівих частинах — тільки перші дві невідомі. Інші три невідомі переносимо в праві частини, тобто вільними невідомими є 
. Маємо:
Складемо таблицю для невідомих x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , відокремивши в ній головні (x1 та x2 ) і вільні (х3 , х4 , та х5 ) невідомі. Надаємо вільним невідомим (х3 , х4 , х5 ) такі, наприклад, значення: (1, 0, 0) = 
1 , (0,1, 0) = 2 , (0, 0,1) = 
3 (вибір значень для вільних невідомих зроблено так, щоб вектори 1 , 2 та 3 виявилися лінійно незалежними). Більше лінійно незалежних тривимірних векторів вибрати не можна. Для кожного набору значень вільних невідомих знаходимо відповідні значення головних невідомих. Одержана таблиця має такий вигляд:
|
x1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
|
х3 +х5 |
х4 +х5 |
х3 |
х4 |
х5 |
|
К-во Просмотров: 207
Бесплатно скачать Курсовая работа: Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь Фундаментальна сукупність розвязків
|