Курсовая работа: Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь Фундаментальна сукупність розвязків

Складемо таблицю для невідомих x₁ , x₂ , x₃ , x₄ , відокремивши в ній головні (x₃ та x₄ ) і вільні (х₁ та х₂ ) невідомі. Надаємо вільним невідомим (х₁ та х₂ ) такі, наприклад, значення: (1, 0) = ₁ , (0,1) = ₂ , (вибір значень для вільних невідомих зроблено так, щоб вектори ₁ та ₂ виявилися лінійно незалежними). Більше лінійно незалежних векторів вибрати не можна. Для кожного набору значень вільних невідомих знаходимо відповідні значення головних невідомих. Одержана таблиця має такий вигляд:

1	0	-3	2
0	1	-3	2

Другий рядок таблиці є загальним розв'язком розглядуваної системи, якщо х₁ та х₂ є будь-які числа; третій — α₁ = (1, 0, -3, 2) та четвертий — α₂ = (0, 1, -3, 2) є частинними розв'язками розглядуваної системи. Останні рядки, тобто вектори α₁ та α₂ є лінійно незалежними, бо і лінійно незалежними є їх частини, відповідно, ₁ та ₂ . Вектори α₁ та α₂ утворюють фундаментальну систему розв'язків розглядуваної нами в цьому завданні системи. Зауважимо, що ми здійснили такий вибір значень вільних невідомих, при якому одержано нормальну фундаментальну систему α₁ та α₂ розв'язків заданої системи рівнянь

Висновок

Можна визначити такий основний алгоритм знаходження фундаментальної системи розв’язків лінійних однорідних рівнянь:

1. Виписуємо матрицю системи, при цьому вибираємо один з мінорів, що відмінний від нуля найвищого порядку. Його назвемо базою мінор.

2. Тоді в розглядуваній СЛОР відкидаємо всі ті рівняння коефіцієнти при яких не увійшли до базового мінора.

3. В рівняннях, що залишилися переносимо у праву частину ті члени коефіцієнти при невідомих у яких не увійшли до базового мінора. Ці невідомі назвемо вільними невідомими. Ті ж невідомі, що залишилися у тій лівій частині назвемо – головними.

4. Виражаємо головні невідомі через вільні невідомі. Значення для вільних невідомих різними способами підбираємо так, що набори, які утворилися при цьому є лінійно незалежними.

5. Підставляючи ці значення у розв’язок для головних невідомих одержуємо фундаментальну систему розв’язків.

Використана література

1. Курош А. Г., “ Курс высшей алгебры ”, изд. 10, <<Наука>>, Москва, 1971 г., 432 стр.

2. Ф. Г. Ващук, С. С. Поляк, І. О. Пономарьова, “ Практикум з алгебри ”, Ужгород, 1997 р., 147ст.

3. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М.. Высшая математика – К.: Вища шк. Главное изд., 1987 г., 552 стр.

4. Ващук Ф. Г., Поляк С. С.. Практикум з вищої математики. Частина І: Елементи алгебри та аналітичної геометрії. – Ужгород: Гражда, 2005. – 294 с.: іл.