Курсовая работа: Системи модульно-розвивального навчання

Сучасна методична наука поки що не створила будь-якого достатньо визначеного “алгоритму” побудови такого циклу задач. Тому вивчення і систематизація різноманітних методів і прийомів побудови таких систем задач, особливо з планіметрії, є актуальною проблемою, як в теоретичному так і в практичному аспектах. Вирішення цієї проблеми допоможе вчителю математики встановлювати взаємозв’язки між окремими зовні розрізненими задачами, самостійно будувати цикл задач, які об’єднує спільна дидактична мета.

Для того щоб показати як працює цей метод в планіметрії викладач пропонує розглянути декілька прикладів. В наведених прикладах назва кожної ключової задачі відповідає тій геометричній ситуації, яка розглядається.

Ключова задача 1 . «Медіана проведена до гіпотенузи».

У прямокутному трикутнику довжина медіани, що виходить з вершини прямого кута, дорівнює половині довжини гіпотенузи.

Розв’язання:

На промені СМ відкладемо відрізок MD, що дорівнює СМ (рис. 1). У

чотирикутнику ABCD діагоналі точкою перетину

діляться навпіл, отже ACBD – паралелограм. Але <ACB=90ْ, значить ACBD – прямокутник.

Звідси

Наслідок . Центр описаного кола навколо прямокутного трикутника лежить на середині гіпотенузи: .

Якщо в трикутнику довжина медіани дорівнює половині довжини сторони, до якої вона проведена, то цей трикутник прямокутний

Розв’язання:

Використовуючи вищенаведену додаткову побудову, прийдемо до висновку, що ABCD – паралелограм з рівними діагоналями, тобто прямокутник. Звідси

Приклади: Задача 1. Медіана проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, поділилапрямий кут у відношенні 1:2. Довжина медіани m . Знайти сторони трикутника.

Розв’язання:

З відомого відношення кутів визначаємо, що , (рис. 2). Оскільки , то трикутники BMC, AMC – рівнобедрені. В Δ АМВ кут при основі , тому він рівносторонній, звідки АМ=СМ=m . АС=2СМ=2m . За теоремою Піфагора:

Задача 2. BD – медіана прямокутного трикутника АВD (). Нехай К – точка дотику сторони ADтрикутника ABDз колом, вписаним в цей трикутник. Знайти кути трикутника АВС, якщо К ділить ADнавпіл.

Розв’язання:

Нехай N – точка дотику кола до

Нехай N- точка дотику кола до сторони BDтрикутника BDA(рис. 3). Маємо DK=DN=x. Оскільки К – середина AD, AD=AK=xЗа властивістю медіани, яку проведено до гіпотенузи, BD=AD=2x.

Отже, ABD – рівнобедрений.

Маємо, , .

Задача 3. Знайти сторони AB і CD трапеції ABCD, в якої AB=2CD=2AD, AC=a, DC=b.

Розв‘язання:

Проведемо CE‌‌‌‌׀׀AD (рис.4).Нехай AD=x. Тоді CE=x, AB=2DC=2x. Але

AE=DC=x. Звідси, CE – медіана трикутника ABC. .

Отже, .