(15)

(16)

Побудована модель є типовою задачею опуклого програмування з лінійними обмеженнями. Розв'язок цієї задачі дає вельми грубе наближення до дійсно оптимального режиму роботи енергосистеми. У реальній ситуації не можна вважати все навантаження зосередженим в одному вузлі, а слід розглядати п вузлів. Крім того, втрати в системі, природно не є сталими, а залежать від параметрів ліній передач та величин потужностей, що передаються.

В якості наступного наближення можна розглядати задачу, в якій π є білінійною функцією , де параметри управління x_y означають кількість активної потужності, яка передається з j-й електростанції у i-й вузол.

Очевидно, що в цієї нової моделі умови будуть містити нелінійності (π (x_y .) в рівнянні балансу).

Задача про розміщення. Ця простіша задача про розміщення є прикладом багатоекстремальної задачі.

Є т можливих пунктів виробництва, причому відома для кожного i-го пункту залежність вартості виробництва f_i від об'єму виробництва x_i (передбачається, що у вартість виробництвавключені капітальні витрати). Даніпунктів споживання із заданим об'ємом споживання b_j у кожному пункті. Нарешті, задана матриця транспортних витрат () (- вартість перевезення одиниці продукції з i-го пункту виробництва в j-й пункт споживання). Необхідно знайти такі об'єми виробництва , які мінімізують сумарні витрати; інакше кажучи, шукається

(17)

при умовах

(18)

(19)

Оскільки собівартість одиниці продукції звичайно спадає при збільшені об'єму виробництва, то функції f_i (y_i ), як правило, монотонно зростають і опуклі вгору. Множина значень x_ij , що задовольняє обмеження задачі, утворює опуклий многокутник, вершини якого є точками локальних мінімумів функції l(x_ij ) (рис. 1).

Рис. 1. Звідси й назва подібних задач - багатоекстремальні.

Доцільно зазначити, що за своїм реальним змістом більшість задач математичного програмування є задачами або мінімізації витрат ресурсів на виробництво заданих кількостей продукції, або ж максимізації випуску продукції (прибутку) при заданих обмежених кількостях ресурсів.

2. Дві стандартні форми задач лінійного програмування

Загальна форма задачі лінійного програмування (3.1) - (3.6) не придатна для побудови досить простих і ефективних методів розв'язування її, причиною чого е неоднорідність системи умов (3.2) -(3.6). Тому, як правило, задачу зводять до стандартної форми.

В залежності від методів, які застосовуються, розрізняють дві стандартні форми:

основна задача лінійного програмування з обмеженнями-рівностями або перша стандартна форма;

основна задача лінійного програмування з обмеженнями-нерівностями або друга стандартна форма.

Формулювання основної задачі лінійного програмування у першій стандартній формі полягає в наступному: серед усіх невід'ємних розв'язків системи основних обмежень-рівнянь знайти такий, при якому цільова функція набуває найбільшого або найменшого значення:

(21)

(22)

(23)

Або у короткому запису

(21а)

(22а)

Основна задача лінійного програмування може бути також записана у скалярно-векторній, матричній і векторній формах, якщо скористатись позначеннями:

Тут — вектор-стовпець змінних, — вектор-стовпець вільних членів, А — матриця системи основних обмежень, - вектор-стовпець матриці А; — вектор-рядок коефіцієнтів цільової функції, - вектор-рядок матриці А.