Курсовая работа: Теорема Дезарга и её применение к решению задач из курса школьной геометрии
Если точки X, Y, Z лежащие на сторонах ВС, СА, АВ (соответственно продолженных) треугольника АВС коллинеарны, то (BX/CX)*(CY/AY)*(AZ/BZ)=1.
Обратно, если это уравнение выполняется для точек X, Y, Z, лежащих на трех сторонах треугольника, то эти три точки коллинеарны.
Теорема Дезарга.
Если два треугольника перспективны относительно точки и если их пары соответствующих сторон пересекаются, то эти три точки пересечения коллинеарны. Доказательство: Мы имеем теорему лишь о принадлежности точек прямым и пересечении прямых. Треугольники АВС и A’B’C’ перспективны относительно точки О, а пары их соответствующих сторон пересекаются в точке R, Q, P. Для доказательства применим теорему Менелая к тройкам точек. (Q, C’, A’), (R, B’, C’), (P, A’, B’) Лежащих на сторонах трех треугольников ОАС, ОСВ, ОВА, получим при этом (AQ/CQ)*(CC’/OC’)*(OA’/AA’)=1 (CR/BR)*(BB’/OB’)*(OC’/CC’)=1 (BP/AP)*(AA’/OA’)*(OB’/BB’)=1. Перемножим эти три выражения и проделав умеренное число сокращений, получим (AQ/CQ)*(CR/BR)*(BP/AP)=1 что точки Q, R, P коллинеарные, теорема доказана.
2.2 Примеры решения задач
№1 . Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. AA’∩BB’∩CC’=S?
Решение: Рассмотрим треугольник АВС и треугольник А1В1С1 – дезарговые треугольники, то есть треугольники удовлетворяют теореме Дезарга.
№2. В евклидовой плоскости в четырехугольник вписана трапеция, параллельные стороны которой || его диагонали. Доказать, что непараллельные стороны трапеции пересекаются на другой диагонали.
Решение: треугольники NCK и AMP дезарговые треугольники по прямой теореме Дезарга, соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой F, D, B, то есть точка пересечения непараллельных сторон трапеции принадлежат диагонали BD.
№3 . В евклидовой плоскости противоположные вершины одного параллелограмма расположены соответственно на противоположных сторонах второго. Доказать, что оба параллелограмма имеют общий центр симметрии. Требуется доказать, что LN∩MK∩BD∩AC=S
Решение.
AC∩LN∩BD – треугольники ALD и СNB – дезарговые треугольники удовлетворяют обратной теореме Дезарга AC∩LN∩BD=S. Треугольники DKC и BMA – дезарговые треугольники по обратной теореме Дезарга MK∩BD∩AC=S. Получили AC∩BD∩MK∩LN=S. Оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.
№4 . В евклидовой плоскости дан треугольник и три параллелограмма, для каждого из которых одна сторона треугольника служит диагональю, а две другие – смежными сторонами. Доказать, что вторые диагонали этих параллелограммов пересекаются в одной точке. Требуется доказать, что AN∩BP∩CM=S. Решение: Треугольники ABC и NPM – дезарговые треугольники.
AB∩NP=Q (BC∩MP)=R (AC∩NM)=K лежат на одной несобственной прямой P по теореме обратной теореме Дезарга NA∩BP∩CM=S.
№5 . В конфигурации Дезарга одну из точек выбрать за дезаргову точку. Найти в этой конфигурации вершины дезарговых треугольников и дезаргову прямую. Точка А – дезаргова точка. Треугольники A’RP и SCB – дезарговы треугольники A’S ∩ SC∩A’R=C’R∩CSB∩A’P=B’ P∩BCB∩RP=Q. Точки C’, B’, Q’S– дезаргова прямая.
№6. Прямая p лежит в плоскости треугольника АВС; К=ВС (p, L=AC (p, M=AB (p,
R=BL (CM, S=CM (AK, T=AK (BL. Доказать, что прямые AR, BS и CT пересекаются в одной точке. Требуется доказать, что AR∩BS∩CT=Q
Решение
Треугольники АВС и RST – дезарговы треугольники. RS∩AB=M TS∩BC=K точки M, K, L (по условию) TR∩AC=L. Таким образом, по теореме обратной теореме Дезарга AR∩BS∩CT=Q.
№7 . Даны прямые a и b, пересекающиеся в точке S, которая лежит за пределами чертежа. Дана точка С не лежащая ни на одной из данных прямых. Построить прямую SC. Построение. Выбираем произвольно прямую s, точка A, A’ и В 1) AB (s=P, 2) PA’ (b=B’, 3) AC (s=R, 4) BC (s=Q, 5) A’R, B’Q, 6) B’Q (A’R=C’, 7) CC’ искомая прямая.
Доказательство:
Треугольники АВС и А’В’С’ – дезарговы треугольники, прямая s – дезаргова прямая. AB (A’B’=P
AC (A’C’=R (s (по построению) BC (B’C’=Q По обратной теореме Дезарга AA’ (CC’ (BB’=S.
№8 . Даны две точки P и Q и не проходящая через них прямая c. Построить PQ C, не проводя PQ.
Доказательство:
Треугольники QQ1Q2 и PP1P2 – дезарговы. QQ2 (PP2=Z QQ1 (PP1=X S (по построению). Q1Q2 (P1P2=Y.
По обратной теореме Дезарга. PQ (P1Q1 (P2Q2=S (PQ (c=S искомая точка.
№9. На евклидовой плоскости даны две параллельные прямые a||b и точка С, им не принадлежащая. Через () С провести прямую, параллельную а и b.
1) Анализ: Произвольно выбираем прямую s. () А, А’ (а, () В (b. Здесь работает обратная теорема Дезарга для случая () S (– несобственная, прямая s – собственная. Треугольники АВС и А’В’С’ – построить.