Курсовая работа: Теорема Гурвица и ее приложение

Теорема 1 (Ферма): Для того чтобы нечётное простое число было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо и достаточно, чтобы оно при делении на 4 давало в остатке 1.

Доказательство: Доказательство принадлежит Жозе́фу Луи́ Лагра́нжу (25 января 1736, Турин — 10 апреля 1813, Париж, французский математик).

Оно опирается на следующую лемму Вильсона: если p - простое число, то число (p-1)!+1 делится на p.

Чтобы не отвлекаться на доказательство этого вспомогательного факта, продемонстрируем лишь основную идею этого доказательства на примере простого числа 13. Для любого числа x: 2 x 11, найдется такое число y: 2 y 11, что x*y при делении на 13 дает в остатке 1. Действительно, (13-1)!=12!=(2* 7)(3* 9)(4* 10)(5* 8)(6* 11)* 12, и при этом все произведения в скобках при делении на 13 дают в остатке 1, а значит, 12! при делении на 13 даст в остатке 12, откуда (для выбранного нами числа 13) следует утверждение леммы Вильсона. Обобщение, приведенной выше идеи, приводит к доказательству леммы Вильсона и в общем случае.

Из леммы Вильсона извлечем такое следствие: если p=4n+1, где n - натуральное число, то ((2n)!)+1 делится на p. Действительно, из леммы Вильсона следует, что (4n)!+1 делится на p, и теперь необходимое утверждение вытекает из следующей выкладки:

(4n)!+1=(2n)!(2n+1)*...*(4n)+1=(2n)!(p-2n)(p-(2n-1))*...*(p-1)+1=(2n)!*

*(-1)²ⁿ (2n)!+pk+1 ((2n)!)+1(mod p).

Обозначим (2n)! через N. Мы доказали, что N² -1(mod p).

Теперь рассмотрим все пары целых чисел (m,s), такие что 0 m [ ], 0 s [], через [] обозначена целая часть числа - наибольшее целое число, не превосходящее . Число таких пар ([]+1)>p² . Значит, по крайней мере, для двух различных пар () и ()остатки от деления , на p одинаковы, т. е. число a+Nb, где a=m-m₂ , b=s-s₂ , будет делиться на p. При этом |a|[], |b| []. Но тогда число a-N b=(a+Nb)(a-Nb) делится на p, и значит, учитывая, что N² (mod p), получим, что a+b² делится на p, т. е. a+b=rp где r - натуральное число (r0, иначе пары были бы одинаковы). С другой стороны, a+b² []<2p, т. е. r=1, и значит, a+b=p. Теорема доказана.

Пример 1:

, , , ,

Вопрос о представлении чисел в виде суммы двух квадратов исчерпывается следующим утверждением: Для того чтобы целое рациональное число было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо и достаточно, чтобы простые числа вида 4n+3 входили в разложение этого числа на простые сомножители в четных степенях. [3]

4. Вопрос Гурвица

Вернемся к формулам с суммами квадратов. Теперь нас интересует такая алгебраическая задача: какие формулы с суммами квадратов можно написать для случая многих переменных? Сформулируем эту задачу более точно. Рассмотрим формулу вида

(2),

в которой все - билинейные комбинации переменных и . Билинейные комбинации-выражения вида и т.д., а также суммы таких выражений, взятых с произвольными действительными коэффициентами. Формулу (2) будем называть формулой типа (r,s,n).

Существует формула типа (4, 4, 4). Это связано со знаменитой алгеброй кватернионов, построенной Уильямом Роуэном Гамильтоном (1806—1865, ирландский математик).

, где

,

,

,

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 -1 0 0 ,= 1 0 0 0 , 0 0 0 -1 , 0 0 1 0

0 0 -1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -1 0 0

0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 1 0 0 1 0 0 0

Комплексные числа удобно отождествлять с точками плоскости, поскольку они имеют две координаты – вещественную часть и мнимую. По аналогии с комплексными числами, Гамильтон долго пытался построить «трехмерные числа», т.е. наделить точки трехмерного пространства естественными операциями сложения и умножения, удовлетворяющими некоторым естественным свойствам. Однако, ему это не удалось. Более того, в некотором естественном смысле, таких «хороших» операций не существует. Все же поиски были не бесполезны. В результате своих поисков Гамильтон наткнулся на замечательную и естественную конструкцию «четырехмерных» чисел – кватернионов.

Кватернионом называется выражение вида

,

в котором i, j, k – формальные символы, не являющиеся действительными числами. Эти символы удовлетворяют следующим соотношениям: