Курсовая работа: Теорема Гурвица и ее приложение
Чтобы доказать эти теоремы, перечислим сначала некоторые свойства ассоциативной алгебры с делением.
Утверждение 1. Алгебра А содержит 1.
Утверждение 2. Если элемент не пропорционален 1, то совокупность
элементов вида
образует подалгебру, изоморфную алгебре комплексных чисел.
Утверждение 3. Если элементы не принадлежат одной подалгебре
, то совокупность
элементов вида
образует подалгебру, изоморфную алгебре кватернионов.
Доказательство теоремы Фробениуса.
Дадим сначала другое определение альтернативной алгебры.
Пусть a , b –два произвольных элемента алгебра А. Рассмотрим всевозможные произведения, составленные из них. Если каждое такое произведение не зависит от способа расстановки скобок, алгебра А называется альтернативной.
При доказательстве теоремы будем использовать второе определение альтернативности, т.е. докажем следующую теорему: Если алгебра А с делением такова, что любое произведение, составленное из двух произвольных элементов a, b, не зависит от расстановки скобок, то алгебра А изоморфна одной из четырех алгебр: алгебре действительных чисел, алгебре комплексных чисел, алгебре кватернионов или алгебре октав.
Доказательство утверждения 1. Найдя элемент е из уравнения xa=a и умножив обе части равенства ea=a слева на е, получим e(ea)=ea или, учитывая ее альтернативность, (ee)a=ea. Отсюда следует, что ее=е. Опять-таки в силу альтернативности имеем (be)e=b(ee) и e(ec)=(ee)c, т.е. (be)e=be и e(ec)=ec. Отсюда следует be=b и ec=c. Значит е - единица алгебры.
Другие утверждения примем без доказательства.
Попытаемся доказать, что алгебра А является нормированной. Отсюда по теореме Гурвица будет следовать нужный нам результат.
Введем в алгебре А операцию сопряжения следующим образом. Если элемент а пропорционален 1, то . Если же а не пропорционален 1, то, согласно утверждению 2, он содержится в комплексной подалгебре
. В этой подалгебре для элемента а имеется сопряженный элемент
, который мы и примем за элемент, сопряженный к а в алгебре А.
Из определения непосредственно вытекает
, а также
, где
- любое.
Для вывода других свойств сопряжения нам необходимо выяснить один вопрос. Пусть элемент а не пропорционален 1. Рассмотрим какую-либо кватернионную подалгебру , содержащую а. В этой подалгебре для а тоже имеется сопряженный элемент
. Будет ли он совпадать с определенным выше элементом
? Покажем, что будет.
Элементы а и , как сопряженные в комплексной алгебре, удовлетворяют условиям
и
, где t, p – действительные числа.
Элементы а и как сопряженные в алгебре кватернионов удовлетворяют аналогичным условиям:
и
, где k, l – действительные числа.
Вычтем из последних равенств предыдущие, получим: и
и если
, то из этих соотношений вытекает, что элемент а пропорционален 1, что противоречит предположению.
Т.о., элемент, сопряженный а, один и тот же, независимо от того, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной подалгебры (т.е. как комплексное число) или же как элемент какой-либо подалгебры
(т.е. как кватернион).
Заметим попутно, что то же самое относится и к модулю элемента а. Поскольку как в случае комплексных чисел, так и в случае кватернионов, то модуль элемента а не зависит от ого, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной или же кватернионной подалгебры.
Из того, что доказано нами относительно сопряжения, легко следует, что для любых двух элементов a и b алгебры А справедливы равенства
,
Действительно, если a и b принадлежат одной комплексной подалгебре (т.е. совпадает с
), то написанные равенства суть свойства сопряжения в этой подалгебре; если же b не содержится в
, то эти равенства снова сп?