Курсовая работа: Теорема Гурвица и ее приложение

*.

Сравнивая коэффициенты при , получим, что , ,. Получим , или , , . Покажем, что существование таких матриц влечет за собой, что n=2,4,8.

-кососимметричная и невырожденная. Значит n-четное число. В частности

Породим этими матрицами подалгебру

Матрица вида , где является системой K . Их число равно . Покажем, что, по меньшей мере, из них линейно независимы. Для этого сначала заметим, что , удовлетворяет

=

=

В частности М - симметричная тогда и только тогда, когда , либо . Если существует соотношение , где -слева от , то можно считать, что все и все собственные подмножества являются линейно независимыми. Тогда, умножая на , получим соотношение вида: . При этом все являются симметричными (ввиду линейной независимости ).

Пусть вовлекает наименьшее число факторов r . Тогда

.

Если и , то выберем и умножим левую и правые части на . Получим, что . Т.к. -кососимметричная, а -симметричная, то получили противоречие.

Если , то умножим обе части на . Получим, что , где ( их количество 4e-1) – симметричная матрица, а слева кососимметричная матрица. Противоречие. Следовательно, и , и как показывают рассуждения выше, либо , либо . Если , то, умножая на , получим, что (их число n-2=4e-1) – симметричная. Противоречие. следовательно . В частности, если и , то получаем противоречие, т.е. . Пусть . Докажем, что - линейно независимы. Их число равно . Действительно, если между ними есть линейно зависимые, то получим, что , где длина

,

Длина

Т.е. мы не получили . Противоречие.

Итак, и . Это возможно при . Если n<10, то при n=2,4,8 теорема верна. Далее n-четное число. Осталось понять, что при n=6 кососимметричные матрицы из линейно независимы.

в .

С другой стороны, среди , где (их число равно 32) количество кососимметричных равно . Т.к. , то все эти матрицы линейно независимы. В частности и эти линейно независимы . С другой стороны их число меньше 15. Противоречие. (Можно сослаться что , 6-не подходит).

Таким образом, теорема Гурвица доказана. [1]

Пример 2:

Можно ответить на вопрос Гурвица в случае s=n. Это сделал сам Гурвиц в конце жизни, через 20 лет после того, как поставил свой вопрос. Ответ, оказывается, связан с представлениями алгебр Клиффорда. Ответ звучит так: формула типа (r, n, n) существует тогда и только тогда, когда число r не превосходит числа p, зависящего от n следующим образом. Пусть -наибольшая степень двойки, на которую делится число n. Разделим на 4 с остатком. Обозначим через a неполное частное, а через b остаток. Тогда =4a+b, . Число p равно [5]

6. Приложение теоремы Гурвица

В 1878 г. Немецкий математик Г. Фробениус доказал следующую замечательную теорему.

Теорема Фробениуса. Любая ассоциативная алгебра с делением изоморфна одной из трех: алгебре действительных чисел, алгебре комплексных чисел или алгебре кватернионов.

Впоследствии был установлен более общий результат, который можно назвать обобщенной теоремой Фробениуса.

Обобщенная теорема Фробениуса. Любая альтернативная алгебра с делением изоморфна одной из четырех алгебр: алгебре действительных чисел, алгебре комплексных чисел, алгебре кватернионов или алгебре октав.