Курсовая работа: Теория распространения волн

Жидкость несжимаема (ρ=const), поэтому .

Получилось уравнение += +;

Применительно к рассматриваемой задаче , здесь давления сократились, т. к. согласно допущению, принятому в параграфе 2, во всех точках свободной поверхности давление равно атмосферному.

ω₂ ² – ω₁ ² = h_в – h_н = 2gh = 4gr,

после подстановки вместо ω₂ и ω₁ их значений, получается:

(c + )² - (c - )² = 4gr,

. (4.1)

Радиус r в эту формулу не вошёл, следовательно, фазовая скорость волн (скорость распространения волн) не зависит от высоты волн. Гребень волны продвигается за время Т на расстояние λ, называемое длиной волны, следовательно,

.

Подставим это значение в формулу 4.1:

. (4.2)

Таким образом, для волн на поверхности воды скорость их распространения, в отличие от, например, звуковых волн, сильно зависит от длины волны. Длинные волны распространяются быстрее, чем короткие. Волны с разной длиной могут налагаться друг на друга без заметного взаимного возмущения. При этом короткие волны как бы приподнимаются длинными волнами, затем длинные волны уходят вперёд, а короткие остаются позади них.

рис 4.2

Из расположения линий тока видно (см. рис. 4.2 - здесь система отсчёта неподвижна относительно покоящейся воды), что скорость движения воды быстро убывает с увеличением глубины, а именно, пропорционально уменьшению величины , следовательно, на глубине, равной длине волны, скорость составляет только

,

то есть более чем в 500 раз меньше, чем скорость на поверхности.

Формула 4.2 справедлива только для низких волн, причём независимо от их высоты. Для высоких волн скорость с в действительности несколько больше того значения, которое даёт формула 4.2. Кроме того, при высоких волнах траектория частиц воды, расположенных на свободной поверхности, получаются незамкнутыми: вода на гребне волны уходит вперёд на большее расстояние, чем на то, на которое она возвращается назад во впадине волны (см. правую часть рис. 4.2). Следовательно, при высоких волнах происходит перенос воды вперёд.

Также формула 4.2 справедлива лишь для длинных волн. В общем случае кроме силы тяжести на волны действует также поверхностное натяжение. Они стремится сгладить волновую поверхность, и поэтому скорость распространения волн увеличивается. Теория показывает, что в общем случае скорость распространения волн равна

, (4.3)

с , см/с

??? ? ? ??????????? ??????????. ??? ??????? ???? ????????????? ???? ?????? ?????? ???? ??? ??????, ??? ???????? ? ????????, ?????? ????.

Справа представлен график распределения скоростей волн в зависимости от длины волны для воды.

с1 = 23,3 см/с

λ1 = 1, 72 см

λ, см

?? ??????? ?????, ??? ? ???????? ????? ???? ???????. ?????? ???????????? ??????????? ????????? ???????? ??????????????? ???? ?? ????????? ??????????? ????. ??? ????? ?????????? ????? ??????????? ?? ????? ????? ?? ????????? ??? ???????? 4.3 ? ?????????? ?? ????:

=0;

- длина волны, при которой скорость волны минимальна. Это значение можно подставить в 4.3:

.