Курсовая работа: Теория распространения волн

поэтому ускорение частицы

. (4.10)

Далее ширина вала (его линейный размер в плоскости, перпендикулярной рисунку) принимается равной единице (рисунок 4.6). Это позволяет записать выражение для массы объёма воды, находящегося в области вала, следующим образом :

h1

, ??? h_m ???? ??????? ??????? ???? ? ??????? ????. (4.11)

рис. 4.6

???????? ???????? ?? ??? ??????? ???? ?? ????? ? ??? ?? ?????? ?????????? (?? ??????? ????????????) , ??? ?????????? ??? ??????? ???????? (????) .

Следовательно, полная сила давления, действующая на рассматриваемый объём воды в горизонтальном направлении, равна . Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики) с учётом 4.10 и 4.11 запишется в виде:

, откуда . (4.12)

Таким образом, ширина вала выпала из уравнения. Аналогично тому, как это было сделано для уравнения 4.9, доказывается, что уравнение 4.12 применимо также для вала с другим профилем при условии, что разность h₂ - h₁ мала по сравнению с самими h₂ и h₁ .

Итак, имеется система уравнений 4.9 и 4.12. Далее в левой части уравнения 4.9 h₂ заменяется на h_m (что при низком вале и как следствие малой разнице h₂ - h₁ вполне допустимо) и уравнение 4.12 делится на уравнение 4.9:

, после сокращений получается

.

Чередование валов с симметричными углами наклонов (т. н. положительных и отрицательных валоы) приводит к образованию волн. Скорость распространения таких волн не зависит от их формы.

Длинные волны на мелкой воде распространяются со скоростью , называемой критической скоростью.

Если на воде следуют друг за другом несколько низких валов, из которых каждый несколько повышает уровень воды, то скорость каждого последующего вала несколько больше скорости предыдущего вала, так как последний уже вызвал некоторое увеличение глубины h. Кроме того, каждый последующий вал распространяется уже не в неподвижной воде, а в воде, уже движущейся в направлении движения вала со скоростью ω. Всё это приводит к тому, что последующие валы догоняют предыдущие, в результате чего возникает крутой вал конечной высоты.

5. Численный пример расчёта с использованием полученных расчётных уравнений.

В параграфе 4.1 уравнение 4.3 описывает зависимость между фазовой скоростью волны и длиной волны. Пользуясь этим уравнением можно численно определить минимальную скорость волны на свободной поверхности воды и соответствующую этой волне длину волны .

Численные данные для воды таковы:

см/с;

см.

То есть на воде невозможно образование волн с фазовой скоростью меньше 23,1 см/с.

6. Анализ полученных теоретических результатов.

Численные значения, выведенные в параграфе 5, легко проверить на практике. Так около лески удочки, опущенной в реку, скорость течения которой больше 23,3 см/с, образуются вверх по течению капиллярные волны (т. н. рябь), а вниз по течению – гравитационные волны, причём последние имеют вид как на рисунке ниже, а первые достаточно заметно расходятся вверх по течению в виде дуг окружностей. При скоростях движения очага возмущения, меньших 23,3 см/с такая картина не образуется.

Выведенные численые значения также можно проследить и в одном из механизмов образования волн. Так волны образуются при движении воздуха над поверхностью воды. Вследствие трения распределение давления на поверхности волны делается несимметричным, и поэтому ветер, если его скорость больше фазовой скорости волн (в пункте 5 показано, что минимальная фазовая скорость с = 23,1 см/с) , совершает на гребне каждой волны работу. Для возникновения лёгкого волнения на поверхности волны достаточно, в полном соответствии с наблюдениями, ветра со скоростью, немного превышающей 23,1 см/с.

7. Список литературы.

1. «Гидроаэромеханика», Л. Прандтль, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевск, 2000 г., 576 стр.;

2. «Механика жидкости и газа», Л. Г. Лойцянский, Изд. «Наука», Москва, 1987 г., 840 стр.;

3. «Механика жидкости и газа (гидравлика)», А. Д. Гиргидов, Изд. «СПбГПУ», С-Петербург, 2002 г., 544 стр.