Курсовая работа: Теория распространения волн

рис. 4.3

?????, ????? ??????? ?????? λ₁ , ?????????? ???????????????, ? ?????, ????? ??????? ?????? λ₁ , - ????????????. ?? ??????? ?

капиллярным волнам относится левая ветвь, к гравитационным – правая. а

Волны могут возникать и на поверхности соприкосновения двух жидкостей различной плотности, расположенных одна над другой. Если обе жидкости неподвижны и плотности их равны ρ₁ и ρ₂ , со фазовая скорость волн выражается формулой

.

Возникновение устойчивых волн в таком случае возможно только если их длина достаточно велика. Короткие волны неустойчивы, что неизбежно приводит к перемешиванию обеих жидкостей в промежуточной зоне.

Пусть верхняя жидкость течёт со скоростью ω₁ относительно нижней. Возникшие волны распространяются со скоростью, равной среднему значению первоначальных скоростей над и под поверхностью раздела. На рисунке 4.3 выбрана такая система отсчёта, которая движется с этой средней скоростью. Следовательно в этой системе отсчёта гребни и впадины волн остаются неподвижными, верхний поток движется вправо, а нижний – влево.

На линии тока выделяется частица жидкости. Для этой точечной частицы нормальное ускорение равно , где ω – скорость течения на линии тока, r – радиус кривизны в рассматриваемой точке (может быть как положительным в месте выпуклости линии тока, так и отрицательным в месте вогнутости). Уравнение движения в проекции на направление r даёт:

, где ∂s – элемент дуги, p – давление в рассматриваемой точке, ρ – плотность жидкости.

Получается, что знак ∂p зависит только от знака радиуса кривизны, т. е. давление растёт по мере приближения к выпуклости линии тока и понижается у вогнутости. На рисунке 4.3 области повышенного давления обозначены плюсами, пониженного – минусами. Очевидно, что такое течение не может быть устойчивым. Жидкость из пиков волн устремится внутрь соседней среды, и обе жидкости перемешаются с образованием вихрей.

При увеличении скорости граница между неустойчивостью и устойчивостью перемещается в сторону волн с большей длиной волны, поэтому на поверхности соприкосновения двух жидкостей различной плотности могут устойчиво существовать только достаточно длинные волны.

4.2 Зависимость между групповой скоростью волн и скоростью их распространения.

Скорость, обозначаемая ранее буквой с и называемая скоростью распространения волны, - есть ни что иное, как фазовая скорость (т.е. скорость перемещения гребней волн). От неё следует отличать скорость распространения группы волн, называемую групповой скоростью (далее она будет иметь обозначение с*).

Понять различие между ними проще всего на примере картины, возникающей в результате наложения двух волн, имеющих разные амплитуды, но немного отличающиеся своей длиной. Пусть имеется синусоидальная волна

y = A sin (μx - νt),

где А есть амплитуда, t – время, а μ и ν – некоторые коэффициенты.

При изменении x на или t на синус принимает прежнее значение (т. к. sin (φ+2π) = sin (φ) по формулам приведения. Следовательно, величина

- это длина волны, (4.4)

а величина - период колебаний. Если (4.5)

μx – νt = const, т. е. если x = const + ,

то аргумент синуса не зависит от времени, поэтому не зависит от времени и ордината y. Это означает, что вся волна, не изменяя своей формы, перемещается вправо со скоростью . (4.6)

Пусть на эту волну накладывается вторая волна

y′ = A sin (μ′x - ν′t),

т. е. волна с той же амплитудой А, но с несколько иными значениями μ и ν. Результирующим движением будет

y + y′ = A[sin (μx - νt)+ sin (μ′x - ν′t)]. (4.7)

В тех точках оси x, в которых фазы обоих колебаний совпадают, амплитуда равна 2A, в тех же точках, в которых фазы обоих колебаний противоположны, амплитуда равна нулю. Такое явление называется биением. После применения к 4.7 правила сложения синусов, получается выражение

y + y′ = 2A cos sin .

В этом равенстве член sin представляет собой волну, для которой коэффициенты при x и t равны средним значениям от μ и μ′ и соответственно от ν и ν′.

Множитель 2A cos, в свою очередь, можно рассматривать как переменную амплитуду (при малых различиях параметров этот множитель изменяется очень медленно).

Группа волн кончается в той точке, где косинус делается равным нулю. Скорость перемещения этой точки (она и называется групповой скоростью) на основании выведенного соотношения 4.6 равна