14.1. Трансформация произвольного аффинного преобразования движением 21

14.1.1. Трансформация аффинного преобразования параллельным переносом 21

14.1.2. Трансформация аффинного преобразования центральной симметрией 21

14.1.3. Трансформация аффинного преобразования осевой симметрией. 22

14.1.4. Трансформация аффинного преобразования зеркальной симметрией 23

14.2. Трансформация косого сжатия движением. 23

14.3. Трансформация сдвига движением. 24

15. Трансформация аффинного преобразования подобием. 25

15.1. Трансформация косого сжатия подобием. 25

15.2. Трансформация сдвига подобием. 26

16. Трансформация аффинного преобразования аффинным преобразованием. 27

16.1. Трансформация косого сжатия произвольным аффинным преобразованием 27

17. Решение задач с помощью трансформации преобразований. 28

Библиографический список. 32

Предисловие

Преобразованиями можно отображать не только точки и прямые, но и сами преобразования, поэтому в данной работе мы рассмотрим, как с помощью одного преобразования можно получить другое.

Целью моей работы является рассмотрение темы трансформации преобразований. Основные задачи:

· Познакомиться с литературой по данной теме

· Ввести понятие трансформации преобразований

· Рассмотреть различные примеры трансформаций

· Привести примеры задач, решаемых с помощью трансформации преобразований

В основном в работе рассматриваются преобразования плоскости, если не оговорено иное.

При написании данной работы во многом использовалась книга «Перемещения и подобия плоскости» Понарина Я.П. и Скопеца З.А. В ней дается систематическое и углубленное изложение теории перемещений и преобразований подобия плоскости, рассматриваются многочисленные примеры, иллюстрирующие применение теоретических положений. Анализируются задачи на вычисление, доказательство и построение, рационально решаемые с помощью метода геометрических преобразований, также предлагаются задачи для самостоятельного решения.

Также большую помощь при написании данной работы оказала книга Понарина Я.П. «Преобразования пространства». Здесь содержится теоретический и практический материал по теме аффинных преобразований, рассмотрены движения, подобия и аффинные преобразования трехмерного пространства. Изложение сопровождается образцами решения задач.

Хотелось бы отметить книгу Яглома И.М. и Ашкинузе В.Г. «Идеи и методы аффинной и проективной геометрии». Часть 1. Она содержит разнообразный материал, связанный с идеями и методами аффинной геометрии, причем этот материал преподносится без отрыва от элементарной геометрии.

1. Понятие трансформации преобразований

Если f и g – преобразования некоторого множества, например, множества всех точек плоскости, и f ( A )= B , g ( A )= A ₁ , g ( B )= B ₁ , то точке А₁ поставим в соответствие точку В₁ . Вообще, каждую пару (А, f ( A )) отобразим преобразованием g . Множество всех полученных при этом новых пар (А₁ , g ( f ( A ))) есть новое преобразование плоскости, являющееся композицией (рис.1), поскольку эта композиция отображает А₁ на В₁ . Условимся обозначать и говорить, что преобразование f ^g получается из f под действием преобразования g . Запись f ^g кратко будем читать «эф под же».

Итак, по определению

, (1)

в частности, и E ^f = E .

Имеют место следующие формулы:

,