Рассмотрим произвольную точку М , найдем ее образ при преобразовании . При преобразовании g ^-1 она переходит в точку М₁ (рис. 3), которая при параллельном переносе прейдет в точку М₂ , , далее М₂ при преобразовании g перейдет в точку М₃ . Заметим, что вектор при преобразовании g перейдет в вектор , значит, вся трансформация есть параллельный перенос на вектор .

, (31)

где .

11.2. Трансформация центральной симметрии аффинным преобразованием

g(O)

?????????? ???????????? ????? М , ?????? ?? ????? ??? ?????????????? . ??? ?????????????? g ^-1 ??? ????????? ? ????? М₁ (???. 4), ??????? ??? ??????????? ????????? Z_O ??????? ? ????? М₂ , О ? ???????? М₁ М₂ , ????? М₂ ??? ?????????????? g ???????? ? ????? М₃ . ???????, ??? ????? О ??? ?????????????? g ???????? ? ???????? ??????? ММ₃ (?.?. ??? ???????? ?????????????? ??????????? ?????????????? ????? ????? ?????? ? ????????? ?????????? ????? ????), ? ?? ??????? ? ??????????? ????? g ( O ) ????? ??????????? ?????? ?????? ??????????????, ??????, ??? ????????????? ???? ??????????? ????????? Z_{g ( O )} .

. (32)

11.2. Трансформация осевой симметрии аффинным преобразованием

Рассмотрим произвольную точку М , найдем ее образ при преобразовании . При преобразовании g ^-1 она переходит в точку М₁ (рис. 5), которая при осевой симметрии S_l прейдет в точку М₂ , , О – середина М₁ М₂ , далее М₂ при преобразовании g перейдет в точку М₃ . Заметим, что точка О при преобразовании g перейдет в середину отрезка ММ₃ (т.к. при аффинном преобразовании сохраняется принадлежность точек одной прямой и отношение расстояний между ними), и ее образ – О₁ – будет лежать на образе прямой l при преобразовании g - g ( l ) . По теореме о неподвижных прямых, прямая g ( l ) будет неподвижной прямой нового преобразования. Заметим также, что если при осевой симметрии прямые, соединяющие точки с их образами, были параллельны, то и после трансформации они будут параллельны и наклонены под одним и тем же углом к прямой g ( l ) , значит, вся трансформация есть косая симметрия S_{g ( l )} .

. (33)

12. Трансформация гомотетии аффинным преобразованием

Рассмотрим произвольную точку М , найдем ее образ при преобразовании . При преобразовании g ^-1 она переходит в точку М₁ (рис. 6), которая при гомотетии прейдет в точку М₂ , , далее М₂ при преобразовании g перейдет в точку М₃ . Заметим, что точка О при преобразовании g перейдет в точку О₁ на прямой ММ₃ , причем (т.к. при аффинном преобразовании сохраняется принадлежность точек одной прямой и отношение расстояний между ними), а по теореме о неподвижной точке точка О₁ будет неподвижной при новом преобразовании, значит, вся трансформация есть гомотетия .

. (35)

13. Трансформация аффинного преобразования гомотетией

Далее будем предполагать, что аффинные преобразования g и g ^-1 заданы аналитически.

g : g ^-1 : где образы начала координат и базисных векторов при преобразовании g имеют координаты: O ’( d ₁ , d₂ , d ₃ ) , ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) , ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ) , ( c ₁ , c ₂ , c ₃ ) , а при преобразовании g ^-1 O ’’( n ₁ , n ₂ , n ₃ ), ( k ₁ , k ₂ , k ₃ ), ( l ₁ , l ₂ , l ₃ ), ( m ₁ , m ₂ , m ₃ ) .

Известно, что движение является частным случаем аффинного преобразования, значит, движение под аффинным преобразованием, как композиция аффинных преобразований, также будет аффинным преобразованием.

13.1. Трансформация произвольного аффинного преобразования гомотетией

Выберем систему координат таким образом, чтобы центр гомотетии совпадал с началом координат, тогда будет задаваться аналитически следующим образом.

Рассмотрим произвольную точку М( x , y , z ) , найдем ее образ при преобразовании . При гомотетии точка М переходит в точку М₁ ( x / k , y / k , z / k ) . Далее, при аффинном преобразовании g М₁ переходит в точку М₂ ( , , ) . M ₂ при гомотетии переходит в М₃ ( , , ) . Тогда - аффинное преобразование, аналитически оно задается следующим образом.

(34)

Мы получили, что

(35)

где - параллельный перенос, .

13.2. Трансформация косого сжатия гомотетией

В1

?????????? ????????? ? ????? ?????? g ? ???? q , ???????????? l ? ????????????? m . ??????, ??? ???????????? ????? ????????????? ?????? ?????? ?????????? ? , ??? ????? ??????? ???????????? ????? А ? ?????? ?? ????? ??? ?????? ????????????? (???. 7).

Точка А при гомотетии перейдет в точку А₁ , которая при косом сжатии перейдет в точку А₂ такую, что А₁ А₂ || l , . Точка А₂ при гомотетии перейдет в точку А₃ . Заметим, что прямая – инвариантная прямая всей трансформации (по теореме о неподвижных прямых). Из точек А₁ и А₂ проведем перпендикуляры на прямую q – А₁ В₁ и А₂ В₂ , а из точек А и А₃ – на прямую q ₁ – АВ и А₃ В₃ . Тогда АВ и А₃ В₃ – образы отрезков А₁ В₁ и А₂ В₂ при гомотетии , значит, , следовательно,. Мы получили, что при этой трансформации расстояние от точки А до прямой q ₁ изменилось в m раз:. Причем из того, что А₁ А₂ || l , следует, что AA ₃ || l , потому что при гомотетии прямая переходит в параллельную ей прямую, значит, точка А сместилась в направлении l . Следовательно, в силу произвольности точки А , искомая трансформация есть косое сжатие с осью , направлением l и коэффициентом m .

13.3. Трансформация сдвига гомотетией

Рассмотрим гомотетию и сдвиг g с осью q и коэффициентом m . Найдем, что представляет собой трансформация сдвига гомотетией – , для этого возьмем произвольную точку А и найдем ее образ при данной трансформации (рис. 8).

Точка А при гомотетии перейдет в точку А₁ , которая при сдвиге перейдет в точку А₂ такую, что А₁ А₂ ||