. (12)

3. Трансформация гомотетии движением

Рассмотрим . Пусть g (О)=А . Тогда по свойству неподвижных точек и двойных прямых, А – неподвижная точка преобразования , также мы имеем пучок неподвижных прямых в т. А, поэтому данное преобразование не может быть поворотной гомотетией или гомотетической симметрией. Следовательно, . Найдем коэффициент с, для этого рассмотрим точку М₁ , пусть |М₁ ,A| = d.

Пусть g(М1) = М, мы знаем, что g (О)=А тогда по свойствам движения |МО| = d .

Пусть , по определению гомотетии |М₂ О| = kd .

Пусть g (М₂ ) = М₃ , по свойствам движения |М₃ А| = kd . А т.к. при гомотетии все расстояния изменяются в одно и то же число раз, то с = k . Следовательно,

. (21)

4. Трансформация гомотетии гомотетией

Найдем сначала композицию двух гомотетий , для этого рассмотрим вектор . По свойству гомотетии, , а .

Рассмотрим первый случай, когда lk = 1 , тогда мы получили преобразование, при котором вектор перешел сам в себя, а это параллельный перенос . Найдем вектор , для этого найдем образ точки О при этой композиции. , а : . Тогда . Значит, композиция двух гомотетий при lk = 1 есть параллельный перенос на вектор .

. (22)

Рассмотрим второй случай, когда lk ≠ 1 . Найдем неподвижные точки этого преобразования. Пусть точка М – неподвижная, тогда если , а , то М = D , значит, . Но . Т.к. и , то . Тогда . Т.к. lk ≠ 1 , то выразим вектор : . Значит, у данного преобразования только одна неподвижная точка М , причем , следовательно, точки O , Q , M лежат на одной прямой.

Докажем теперь, что данное преобразование будет гомотетией с центром в т. М и коэффициентом lk . Возьмем произвольную точку Е , пусть , а . Докажем, что (рис. 2). Разложим векторы и по векторам и . По правилу треугольника, , а . Ранее мы выразили вектор через вектор : , тогда вектор выражается через вектор следующим образом: . Вектор при гомотетии переходит в вектор , тогда . Значит, . Теперь приведем подобные слагаемые и разложим вектор по векторам и , после этого получим . Вектор при гомотетии переходит в вектор , значит, , а вектор вновь выразим через , тогда . Приведем подобные слагаемые, получим

. По правилу треугольника , следовательно . Таким образом, мы показали, что преобразование произвольную точку E переводит в точку G такую, что , следовательно, это преобразование – гомотетия с центром в точке М и коэффициентом lk .

. (23)

Сейчас найдем преобразование . , а это по формуле (23) равняется , . Далее применяя формулу (23), получаем , . Выразим вектор через вектор . По правилу треугольника, . Мы уже знаем, что , тогда . Приведем подобные слагаемые, получим . Так как , то . Значит, . Таким образом,

^. (24)

5. Трансформация движения гомотетией

5.1. Трансформация осевой симметрии гомотетией

Рассмотрим . По теореме о неподвижных точках, прямая – неподвижная прямая преобразования , значит, это осевая симметрия с осью m .

. (25)

5.2. Трансформация параллельного переноса гомотетией

, но , . [1] Тогда , что по формуле (22) равняется . Следовательно,

. (26)

5.3. Трансформация произвольного движения гомотетией

Рассмотрим . По теореме о неподвижных точках, неподвижными точками преобразования являются образы неподвижных точек движения f . Докажем, что это – движение. . Рассмотрим точки А и L , | AL | = d . Пусть при гомотетии они переходят соответственно в точки В и М , тогда | BM | = d / k . При движении f точки В и М переходят соответственно в точки С и N , тогда | CN | = d / k , т.к. движение сохраняет расстояния между точками. Пусть при гомотетии точки С и N переходят соответственно в точки D и P , | DP | = kd / k = d . Мы получили, что преобразование сохраняет расстояния между точками, значит, это движение, неподвижными точками которого являются образы неподвижных точек движения f , а т.к. вид движения определяется его неподвижными точками, то - движение того же вида, что и f .

6. Трансформация подобия гомотетией

Рассмотрим , где f – подобие. Известно, что подобие – это композиция движения и гомотетии, тогда , а это, по формулам (2), равняется . Как было доказано в 5.3, - движение того же вида, что и g , а по формуле (24) . Следовательно, - подобие того же вида, что и f . Если f , то

. (27)

7. Трансформация движения подобием

Пусть подобие – это композиция движения g и гомотетии , то движение f под подобием – это . В силу ассоциативности композиции преобразований, . По доказанному в п. 5.3 = f ₁ - движение того же вида, что и f , а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f при гомотетии . Тогда . Но f ₁ ^g = f ₂ – движение того же вида, что и f ₁ , а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f ₁ при движении g . Тогда - движение того же вида, что и f , а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f при подобии .

8. Трансформация подобия движением

Пусть подобие – это композиция движения f и гомотетии , тогда подобие под движением g по формулам (2) есть . f^g = f ₁ – движение того же вида, что и f , а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f при движении g , а по формуле (21) . Тогда , а это подобие.

. (28)

9. Трансформация гомотетии подобием

Рассмотрим . В силу ассоциативности композиции преобразований, . По формуле (24), , . Тогда (по формуле (21)). Таким образом,

. (29)

10. Трансформация подобия подобием

Подобие φ под подобием ψ . По формулам (2), . - движение того же вида, что и f , а его неподвижные точки – образы неподвижных точек движения f при подобии ψ . По формуле (29), . Тогда

, (30)