Курсовая работа: Устойчивость систем автоматического управления

Условия устойчивости выполнены и система при избранных параметрах устойчива.

Определим критическое значение передаточного числа по углу тангажа, для чего приравняем третий диагональный определитель нулю и сделаем преобразования.

Отсюда

В последнем выражении только d₃ и d₄ являются функциями коэффициента k_u и подставив их в него, получим квадратное уравнение относительно этого коэффициента

Решив это уравнение, получим критическое значение передаточного числа по углу тангажа

Система устойчива, если ku<16.56.

Критерий устойчивости Рауса

Этот критерий представляет собой систему неравенств, составленных по особым правилам из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой САУ.

Критерий Рауса требует несколько меньшего объема вычислений, чем критерий Гурвица и более удобен для программирования на ЭВМ. Для суждения об устойчивости системы по этому критерию необходимо составить таблицу Рауса.

Таблица Рауса

В первой строке таблицы записывают коэффициенты характеристического уравнения, имеющие четные индексы в порядке их возрастания. Во второй строке таблицы записывают коэффициенты с нечетными индексами в порядке их возрастания. В последующие строки вписывают коэффициенты, определяемые как

Условия устойчивости Рауса: Чтобы САУ была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, то есть были положительными. Если не все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса положительны, то есть САУ неустойчива, число правых корней характеристического уравнения равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса.

Частотные критерии устойчивости

Принцип аргумента. Частотные критерии устойчивости используются в графоаналитическом виде и отличаются большой наглядностью при проведении расчетов. В основе всех частотных методов лежит принцип аргумента.

Рассмотрим характеристическое уравнение системы

Если l_i , i=1,2,...n- корни этого уравнения, то

Каждому корню на комплексной плоскости соответствует определенная точка, и геометрически на этой плоскости каждый корень можно изобразить в виде вектора с модулем ½l_i ½, проведенного из начала координат (рис.3.4). Сделаем замену s=jwи получим

В соответствием с правилом вычитания векторов получим, что конец каждого элементарного вектора (jw - l_i ) находиться на мнимой оси.

Аргумент вектора D(jw) равен сумме аргументов элементарных векторов

Направление вращения вектора (jw - l_i ) против часовой стрелки при изменении частоты от -¥ до +¥ принято считать положительным, а по часовой стрелке- отрицательным. Предположим, что характеристическое уравнение имеет m корней в правой полуплоскости и n - mкорней в левой полуплоскости. При изменении частоты от -¥ до +¥ каждый вектор (jw - l_i ), начало которого лежит в левой полуплоскости повернется на угол +p , а каждый вектор, начало которого лежит в правой полуплоскости - на угол -p. Изменение аргумента вектора D(jw) при этом будет