Курсовая работа: Устойчивость систем автоматического управления

Это выражение и определяет принцип аргумента.

Изменение аргумента вектора D(jw) при изменении частоты от -¥ до +¥ равно разности между числом (n-m) корней уравнения D(s)=0, лежащих в левой полуплоскости, и числом m корней этого уравнения, лежащих в правой полуплоскости, умноженной на p .

Критерий устойчивости Михайлова

Пусть дано уравнение замкнутой системы

где – передаточная функция замкнутой системы.

Тогда дифференциальное уравнение системы, преобразованное по Лапласу можно записать в виде:

где – характеристический полином n-ной степени.

В соответствии с основной теоремой алгебры этот полином можно разложить на множители в виде:

(4)

где p₁ , p₂ , …, p_n - корни характеристического уравнения А(р) = 0.

Выражение (5) действительно при любых значениях p, в частности при p=jw. Тогда (5) можно переписать так:

(5)

Выражение (5) называется кривой Михайлова и обычно обозначается D(jw) = A(jw). Каждый сомножитель выражения (5) отображается на комплексной плоскости вектором, конец которого лежит на мнимой оси (рис.4).

В основу критерия Михайлова положен принцип аргумента: произведение комплексных чисел имеет аргумент, равный сумме аргументов всех его сомножителей.

В нашем случае при изменении wот -¥ до + ¥ векторы сомножителей (jw - p_i ), i = 1,n, поворачиваются на угол p (5). Если корни лежат в левой части полуплоскости, то изменение угла будет положительным, если в правой, то отрицательным. Вектор (jw - p_i ) поворачивается против часовой стрелки в левой полуплоскости и по часовой стрелке – в правой.

Запишем выражение (5) в показательной форме. Учтем, что

где ;

Тогда

(6)

Из (5) вытекает, что изменение аргумента вектора Михайлова D(jw) равно сумме изменений аргумента каждого сомножителя выражения (6), т.е.

Если все корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси (т. е. система устойчива), то изменение аргумента каждого из сомножителей (jw - p_i ) при изменении wот –¥ до + ¥, равно +p, а изменение аргумента произведения всех сомножителей DargD(jw) = + pn.

Если хотя бы один корень будет расположен в правой полуплоскости (система неустойчива), то изменение аргумента вектора Михайлова DargD(jw) = + p(n – 2).

Заметим, что при изменении wот –¥ до + ¥ кривая Михайлова симметрична относительно оси абсцисс, что позволяет ограничиться изучением кривой в диапазоне изменения wот 0 до + ¥. Тогда условие устойчивости системы по Михайлову можно записать в виде

(7)

Годографы кривой Михайлова при изменении wот 0 до + ¥ для устойчивых систем при различных значениях nприведены на рис. 5.

В соответствии с (7) критерий Михайлова формулируется следующим образом: для того, чтобы замкнутая система была ус­тойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при изменении wот 0 до + ¥ вектор Михайлова D(jw) повернулся на угол .