Курсовая работа: Устойчивость систем автоматического управления

Так как при w®¥, W(jw)®0, то N(jw)®1. Рассмотрим рисунок 3.8а, на котором показана кривая Найквиста, которую описывает вектор Найквиста при изменении частоты от 0 до ¥. Нетрудно убедиться, что вектор Найквиста опишет угол, равный нулю только в случае, если его годограф не охватывает начало координат. Перенесем начало координат в точку с координатами (1,j0) (рис.3.9б). Можно убедиться, что изменение аргумента вектора Найквиста будет равно нулю если АФЧХ W(jw) разомкнутой системы не охватывает критическую точку с координатами (-1,j0).

Критерий Найквиста для рассматриваемого случая формулируется следующим образом.

Система автоматического управления, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если АФЧХ W ( j w ) разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ¥ не охзватывает критическую точку с координатами (-1, j 0).

Особенности возникают, если разомкнутая система нейтрально-устойчива, т.е.

где полином A₁ (s) имеет все корни в левой полуплоскости. При w=0 АФЧХ разомкнутой системы W(jw)=¥ и проследить поведение кривой АФЧХ в окрестности этой точки невозможно. При изменении частоты от -¥ до +¥ наблюдается движение корней вдоль мнимой оси снизу вверх и при w=0 происходит бесконечный разрыв.

При этом движении обойдем нулевой корень (рис.3.10) по полуокружности бесконечно малого радиуса r так, чтобы этот корень остался слева, т.е. искусственно отнесем его к левой полуплоскости.

При движении по этой полуокружности в положительном направлении независимая переменная изменяется по закону

где фаза j(w) изменяется от -p / 2 до +p / 2. Подставив это выражение в передаточную функцию вместо множителя s в знаменателе, получим

где R®¥при r®0 , а фаза j(w) изменяется от +p / 2 до -p / 2. Следовательно, в окрестности нулевого корня годограф W(jw) представляет собой часть окружности бесконечно большого радиуса, движение по которой происходит при увеличении частоты в отрицательном направлении.

Для оценки устойчивости замкнутой системы, если разомкнутая система нейтрально устойчива, необходимо АФЧХ W ( j w ) разомкнутой системы дополнить дугой бесконечно большого радиуса, начиная с меньших частот, в отрицательном направлении и для полученной замкнутой кривой воспользоваться критерием Найквиста для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии.

2).Разомкнутая система неустойчива. В этом случае

где р- число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

Если замкнутая система устойчива, т.е. m=0, то

( 3.22)

т.е. АФЧХ разомкнутой системы охватывает критическую точку (-1,j0) в положительном направлении ровно p / 2 раз.

Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если АФЧХ W ( j с w ) разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ¥ охватывает критическую точку (-1, j 0) в положительном направлении ровно р/2 раз, где р- число правых полюсов разомкнутой системы.

Определение числа охватов критической точки- непростая задача, особенно в случае систем высокого порядка. Поэтому в практических приложениях нашла применение другая формулировка критерия Найквиста для рассматриваемого случая.

Переход годографа W(jw) через отрезок вещественной полуоси (-¥,-1), т.е. левее критической точки при увеличении частоты сверху вниз считается положительным, а снизу вверх- отрицательным.

Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если разность между числом положительных и отрицательных переходов АФЧХ разомкнутой системы равна р/2.

(3.23)

где число положительных переходов, число отрицательных переходов.

Например, передаточная функция ракеты-носителя “Авангард” имеет два неустойчивых полюса и ее АФЧХ показана на рис. 3.11.

Очевидно, что для данной ракеты, как объекта управления, а и Замкнутая система будет устойчивой.

Пример. Используя критерий Найквиста оценить устойчивость замкнутой системы стабилизации угла тангажа и определить ее запасы устойчивости.