Курсовая работа: Возвратные последовательности

L_n = L_{n -1} + n = =

Из пунктов 1 и 2 следует: при n ≥ 0

L_n = + 1

3

? ?????? ????????? ???????? ?? ???? ?????? ?? ?????????: ???????????, ??? ?????? ?????? ????? ?? ?????????? ??????? ?????, ?????? ?? ??????? ???????????? ????? ???????. ?????? ???????????? ????? Z_n ????????, ?? ??????? ????????? ??????? n ?????? ???????? ????????

Частные случаи:

			Z1 = 2	Z2 = 7

Ломаная линия подобна двум прямым с тем лишь отличием, что области сливаются, если «две» прямые не продолжать после их пересечения:

Области 2, 3 и 4, которые были бы разделены при наличии двух прямых, превращаются в единую область в случае одной ломаной линии, т.е. мы теряем две области. И если привести все в надлежащий порядок, то точка излома должна лежать «по ту сторону» пересечений с другими линиями, и мы теряем только две области на одну линию. Таким образом,

Z_n = L_{2 n} − 2n = = 2n² −n+1 при n ≥ 0 (44)

Сравнивая решения в замкнутой форме (43) и (44), мы приходим к выводу, что при большом n,

L_n ~ ,

Z_n ~ 2n² ,

так что ломаные линии дают примерно в четыре раза больше областей, чем прямые.

Глава 2 (практическая часть)

1. Рассмотрим последовательность квадратов натуральных чисел:

u₁ = 1² , u₂ = 2² , u₃ = 3² , . . . , u_n = n² , . . . (*)

Здесь u_{n + 1} = (n + 1)² = n² + 2n + 1 и, следовательно,

u_{n + 1} = u_n + 2n + 1. (1)

Увеличивая n на единицу, получим:

u_{n + 2} = (n + 2)² = n² + 4n + 4 = (n² + 2n + 1) + 2n + 3 = u_{n + 1} + 2n + 3.

u_{n + 2} = u_{n + 1} + 2n + 3 . (2)

Вычитая почленно (1) из (2), получим:

u_{n + 2} - u_{n + 1} = (u_{n + 1} + 2n + 3) – (u_{n + 1} = u_n + 2n + 1 ) = u_{n + 1} - u_n + 2,

u_{n + 2} = 2u_{n + 1} - u_n + 2. (3)

Увеличивая в равенстве (3) n на единицу, будем иметь:

u_{n + 3} = (n + 3)² = n² + 6n + 9 = (n² + 4n + 4) + 2n + 5 = u_{n + 2} + 2n + 5,

u_{n + 3} = u_{n + 2} + 2n + 5. (4)

Вычитая почленно (2) из (4), получим:

u_{n + 3} - u_{n + 2} = (u_{n + 2} + 2n + 5) – (u_{n + 1} + 2n + 3 ) = u_{n + 2} - u_{n + 1} + 2,

u_{n + 3} = 2u_{n + 2} - u_{n + 1} + 2, (5)

Вычитая почленно (3) из (5), получим:

u_{n + 3} - u_{n + 2} = (2u_{n + 2} - u_{n + 1} + 2) – (2u_{n + 1} - u_n + 2) = 2u_{n + 2} - 3u_{n + 1} + u_n ,