Курсовая работа: Возвратные последовательности

u_n = Аx_n + Вy_n + . . . + Cz_n . (37)

Таким образом, открывается возможность представить любую из бесконечного множества последовательностей, удовлетворяющих одному и тому же возвратному уравнению порядка k, через некоторые из них (32), по формуле (37).

Реализация этой возможности зависит от того, возможно ли подобрать числа A, B, . . . , C так, чтобы удовлетворялись уравнения:

Аx₁ + Вy₁ + . . . + Cz₁ = u₁

Аx₂ + Вy₂ + . . . + Cz₂ = u₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (38)

Аx_k + Вy_k + . . . + Cz_k = u_k

с произвольно заданными значениями правых частей u₁ , u₂ , u₃ , . . . , u_k .

Так как неизвестными здесь являются числа A, B, . . . , C, а число уравнений равно порядку k возвратного уравнения, то отсюда следует, что и количество неизвестных A, B, . . . , C целесообразно взять также равным k. Известно, что наличие решений у системы k алгебраических уравнений (38) с k неизвестными A, B, . . . ,

C зависит от того, каковы коэффициенты этой системы: x₁ , y₁ , . . . , z₁ , . . . , x_k , y_k , . . . ,z_k , т. е. от того, каковы начальные члены последовательностей (32).

Решение будет существовать при произвольных правых частях u₁ , u₂ , u₃ , . . . , u_k , если положим

x₁ = 0,y₁ = 0, . . . , z₁ = 0

x₂ = 0,y₂ = 0, . . . , z₂ = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (39)

x_k = 0, y_k = 0, . . . , z_k = 1

В этом случае система (38) принимает простейший вид, сразу обнаруживающий решение системы

А = u₁

В = u₂

. . . . . .

C = u_k

Возможен иной выбор чисел x₁ , y₁ , . . . , z₁ , . . . , x_k , y_k , . . . ,z_k , при котором система (38) имеет решение, каковы бы ни были правые части уравнений.

ТЕОРЕМА. Для того чтобы система k линейных алгебраических уравнений (38) с k неизвестными имела решение A, B, . . . , C и притом единственное, при любых значениях правых частей u₁ , u₂ , u₃ , . . . , u_k , необходимо и достаточно, чтобы соответствующая ей однородная система

Аx₁ + Вy₁ + . . . + Cz₁ = 0

Аx₂ + Вy₂ + . . . + Cz₂ = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (38')

Аx_k + Вy_k + . . . + Cz_k = 0

имела бы одно только нулевое решение:

A = B = . . . = C = 0.

Если числа такого рода выбраны в качестве начальных членов последовательностей (32), то любая последовательность, удовлетворяющая возвратному уравнению (31), выразится по формуле (37), где числа A, B, . . . , C определяются из уравнений (38). Система k последовательностей (32), через которые члены любой последовательности, удовлетворяющей данному уравнению (31), выражаются по формулам (37), называется базисом возвратного уравнения.