Курсовая работа: Возвратные последовательности

Значит, уже известно и значение u_{k + 2} . Если m – какое-либо натуральное число, и уже вычислены члены последовательности u₁ , u₂ , u₃ , . . . , u_k , u_{k + 1} , . . . , u_{m + k – 1} , то, полагая в уравнении (31) n = m, найдём из него следующий член u_{m + k} .

Итак, члены возвратной последовательности порядка k, удовлетворяющей уравнению (31), определяются единственным образом с помощью этого уравнения, если известны первые k членов последовательности: u₁ , u₂ , u₃ , . . . , u_k .

Выбирая их различными способами можно получить бесконечное множество различных последовательностей, удовлетворяющих уравнению (31). Их различие между собой будет проявляться уже в первых k членах и будет обнаруживаться также в дальнейших членах.

Так, например, уравнению первого порядка

u_{n + 1} = qu_n

удовлетворяют всевозможные геометрические прогрессии со знаменателем q (они различаются друг от друга значениями первого члена u₁ ).

Пусть имеем некоторое количество последовательностей, удовлетворяющих одному и тому же уравнению (31):

x₁ , x₂ , . . . , x_n , . . . ,

y₁ , y₂ , . . . , y_n , . . . ,

. . . . . . . . . . . . . . . . (32)

z₁ , z₂ , . . . , z_n , . . . ,

Тогда выполняется уравнение:

x_{n + k} == a₁ x_{n +k – 1} + a₂ x_{n + k – 2} + … + a_k x_n ,

y_{n + k} == a₁ y_{n +k – 1} + a₂ y_{n + k – 2} + … + a_k y_n ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (33)

z_{n + k} == a₁ z_{n +k – 1} + a₂ z_{n + k – 2} + … + a_k z_n ,

Возьмём произвольные числа A, B, . . . , C, по числу последовательностей (32), умножим все члены первого из уравнений на А, второго на В, . . . , последнего на С и сложим . Тогда получится равенство:

А x_{n + k} + В y_{n + k} + . . . + С z_{n + k} =

= a₁ (Аx_{n +k – 1} + Вy_{n +k – 1} + . . . + Cz_{n +k – 1} ) +

+a₂ (Аx_{n +k – 2} + Вy_{n +k – 2} + . . . + Cz_{n +k – 2} ) + ... + a_k (Аx_n + Вy_n + ... + Cz_n ).(34)

Из него следует, что последовательность

t₁ = Аx₁ + Вy₁ + . . . + Cz₁ ,

t₂ = Аx₂ + Вy₂ + . . . + Cz₂ ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (35)

t_n = Аx_n + Вy_n + . . . + Cz_n ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Получающаяся из последовательностей (32) путём умножения всех членов первой из них на А, второй на В, . . . , последней на С и затем почленного сложения последовательностей, удовлетворяет уравнению (31). Изменяя A, B, . . . , C, можно получить различные значения членов t₁ , t₂ , t₃ , ...

Пусть

u₁ , u₂ , u₃ , . . . , u_n , . . . , (36)