Курсовая работа: Возвратные последовательности

+ [( u_{k + m} - a₁ u_{k + m – 1} - . . . - a_k u_m )x^{k + m – 1} + . . . + ( u_{n + 1} - a₁ u_n - . . . - a_k u_{n - k + 1} )xⁿ ] – - [(a₁ u_{n + 1} + . . . + a_k u_{n - k + 2} ) x^{n + 1} + . . . + a_k u_{n + 1} x^{n + k} ]. (22)

Здесь в первой квадратной скобке находится многочлен степени не выше l = k + m – 2, коэффициенты которого не зависят от взятого числа n; обозначим его через P (x):

P (x) = u₁ + (u₂ - a₁ u₁ )x +

+ . . . +( u_{k + m – 1} - a₁ u_{k + m – 2} - . . . - a_k u_{m – 1} )x^{k + m – 2} . (23)

В следующей квадратной скобке находится многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, в силу равенства (20). В последней квадратной скобке заключается многочлен, коэффициенты которого зависят от n; он не содержит членов степени ниже n + 1. Обозначая его через R_n (x), перепишем тождество (22) в виде

P (x) = (1 - a₁ x – a₂ x² - . . . - a_k x^k )( u₁ + u₂ x + . . . +u_{n + 1} xⁿ ) + R_n (x). (24)

Отсюда видно, что u₁ + u₂ x + . . . +u_{n + 1} xⁿ представляет частное, а R_n (x) – остаток от деления P (x) на

Q (x) = 1 - a₁ x – a₂ x² - . . . - a_k x^k , тоесть

u₁ , u₂ , . . . , u_n , u_{n + 1} , . . . ,

действительно является последовательностью коэффициентов частного, получаемого от деления многочлена (23) на (21).

В виде примера рассмотрим последовательность Фибоначчи:

u₁ = 1, u₂ = 1, u₃ = 2, u₄ = 3, u₅ = 5, u₆ = 8, u₇ = 13, . . . ,

Так как её члены удовлетворяют уравнению

u_n+2 = u_n+1 + u_n (n ≥ l),

тоздесьm = 1, k = 2, a₁ = 1, a₂ = 1 иQ (x) = 1 – x – x² .

Многочлен P (x) должен иметь степень не выше k + m – 2 = 1. По формуле (23) получаем:

P (x) = 1 + (1 - 1•1)x = 1.

Итак, числа Фибоначчи совпадают с последовательностью коэффициентов частного от деления 1 на 1 – x – x² .

§3. Изучение и применение возвратных последовательностей в курсе средней школы

Один из вопросов, который приходится решать в курсе средней школы относительно арифметической и геометрической прогрессий, а также последовательности квадратов натуральных чисел, заключается в отыскании суммы n членов каждой их этих последовательностей. Пусть

u₁ , u₂ , u₃ , . . . , u_n , . . . , (25)

- возвратная последовательность порядка k, члены которой удовлетворяют уравнению:

u_{n + k} == a₁ u_{n +k – 1} + a₂ u_{n + k – 2} + … + a_k u_n (nm). (26)

Рассмотрим новую последовательность, образованную суммами S_n чисел (25):

S₁ = u_1, S₂ = u₁ + u₂ , . . . , S_n = u₁ + u₂ + . . . + u_n , . . . , (27)

и покажем, что эта последовательность сумм является также возвратной, порядка k + 1, причём её члены удовлетворяют уравнению

S_{n + 1 + k} = (1 + a₁ ) S_{n + k} + (a₂ - a₁ ) S_{n + k - 1} + . . . + (a_k – a_{k - 1} ) S_{n + 1} - a_k S_n . (28)

Заметим, что

u₁ = S₁ , u₂ = S₂ - u₁ = S₂ – S₁ , . . . , u_n = S_n – (u₁ +. . .+ u_{n - 1} )= S_n - S_{n – 1} , (29)

Полагая S₀ = 0 так, что u₁ = S₁ – S₀ , и подставляя в уравнение (26) вместо u₁ , u₂ , u₃ , . . . , u_n , . . . , их выражения через S₀ , S₁ , S₂ , . . . , S_n , . . . , получим: