Курсовая работа: Возвратные последовательности

имеем: u_{n + 1} = u_n + d

- соотношение, не имеющее вида уравнения (2). Но если рассмотреть два соотношения, написанные для двух соседних значений n:

u_{n + 2} = u_{n + 1} + d и u_{n + 1} = u_n + d,

то получим из них, путём почленного вычитания:

u_{n + 2} - u_{n + 1} = u_{n + 1} - u_n ,

или u_{n + 2} = 2u_{n + 1} - u_n (5)

- уравнение вида (2). Здесь k = 2, a₁ = 2, a₂ = -1. Следовательно, арифметическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка.

Пример 3. Рассмотрим старинную задачу Фибоначчи о числе кроликов. В ней требуется определить число пар зрелых кроликов, образовавшихся от одной пары в течение года, если известно, что каждая зрелая пара кроликов ежемесячно рождает новую пару, причём новорождённые достигают половой зрелости в течение месяца. В этой задаче интересен не результат, а последовательность, члены которой выражают общее число зрелых пар кроликов в начальный момент (u₁ ), через месяц (u₂ ), через два месяца (u₃ ), и через n месяцев (u_n+1 ). Очевидно, что u₁ = 1. Через месяц прибавится пара новорождённых, но число зрелых пар будет прежнее: u₂ = 1. Через два месяца крольчата достигнут зрелости, и общее число зрелых пар будет равно двум: u₃ = 2.

Пусть вычислили уже количество зрелых пар через n – 1 месяцев – u_n и через n месяцев - u_n+1 . Так как к этому времени u_n ранее имевшихся зрелых пар дадут ещё u_n пар приплода, то через n + 1 месяцев общее число зрелых пар будет:

u_n+2 = u_n+1 + u_n .(6)

Отсюда u₄ = u₃ + u₂ =3, u₅ = u₄ + u₃ = 5, u₆ = u₅ + u₄ = 8, u₇ = u₆ + u₅ = 13, ...

Таким образом, получили последовательность

u₁ = 1, u₂ = 1, u₃ = 2, u₄ = 3, u₅ = 5, u₆ = 8, u₇ = 13, . . . , (7)

в которой каждый последующий член равен сумме двух предыдущих. Эта последовательность называется последовательностью Фибоначчи , а её члены – числами Фибоначчи .

Пример 4. Рассмотрим последовательность квадратов натуральных чисел:

u₁ = 1² , u₂ = 2² , u₃ = 3² , . . . , u_n = n² , . . . (8)

Здесь u_{n + 1} = (n + 1)² = n² + 2n + 1 и, следовательно,

u_{n + 1} = u_n + 2n + 1. (9)

Увеличивая n на единицу, получим:

u_{n + 2} = u_{n + 1} + 2n + 3. (10)

Вычитая почленно (9) из (10), получим:

u_{n + 2} - u_{n + 1} = u_{n + 1} - u_n + 2, или u_{n + 2} = 2u_{n + 1} - u_n + 2. (11)

Увеличивая в равенстве (11) n на единицу, будем иметь:

u_{n + 3} = 2u_{n + 2} - u_{n + 1} + 2, (12)

откуда (вычитая почленно (11) из (12))

u_{n + 3} - u_{n + 2} = 2u_{n + 2} - 2u_{n + 1} + u_n ,

илиu_{n + 3} = 3u_{n + 2} - 3u_{n + 1} + u_n . (13)

Получили возвратное уравнение третьего порядка. Следовательно, последовательность (8) есть возвратная последовательность третьего порядка.

Пример 5. К возвратным относятся все периодические последовательности. Рассмотрим последовательность цифр десятичного разложения числа