Курсовая работа: Выбор и построение интерполирующей функции

Интерполяционный многочлен Ньютона

Разделенными разностями называются соотношения вида:

- первого порядка:

- второго порядка:

(5.15)

…………………………………………………;

- n - го порядка:

С помощью разделенных різностей можно построить многочлен:

(5.16)

Он называется интерполяционным многочлен Ньютона для заданной функции. Эта форма записи более удобна для использования, поскольку при добавлении к узлам x₀ , x₁ , …, x_n нового x_n+1 все вычесленные раньше члены остаются без изменений, а в формулу добавляется только одно слогаемое. При использовани формулы Логранжа нужно вычислять все заново.

Если значения функции заданы для равноотстоящих значений аргумента (постоянную величину , i=0,1,…,n называют шагом интерполяции), то интерполяционный многочлен принимает вид:

(5.17)

Здесь - конечные разности к -го порядка. Они определяются по формуле где -биномиальные коэффициенты.

Сравнивая эту формулу с предыдущей, легко установить, что при конечные и разделенные разности связаны соотношением вида:

(5.18)

Для практического использования формулу (5.17) записывают в преобразованном виде. Для этого введем новую переменную , положив где - количество шагов , необходимое для достижения точки из точки . Таким образом получим первую интерполяционную формулу Ньютона для интерполирования вперед, то есть в начале таблицы значений:

(5.19)

Предположим, что точка интерполяции расположена вблизи конечной точки таблицы. В этом случае узлы интерполяции следует брать таким образом Формула Ньютона для интерполяциии назад имеет вид:

(5.20)

Разделенные разности можно выразить через конечные разности, если воспользоваться возможностью переставлять в них аргументы, и соотношением (5.18), откуда следует:

;

Введем переменную , учитывая что получим для вторую интерполяционную формулу Ньютона для интерполяции в конце таблицы :

.

Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут быть использованы для екстраполяции функции, то есть для вычисления значений функции , значения аргументов которой лежат вне таблицы. Если и значение близко к , то выгодно использовать первый интерполяционный многочлен Ньютона, тогда и Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона применяется для интерполяции вперед и екстраполяции назад, а вторая - наоборот, для интерполяции назад и екстраполяции вперед.

Отметим, что операция екстраполирования, вообще говоря, менее точная чем операция интерполяции.

Интерполяционные формулы Ньютона выгодны, поскольку при добавлении новых узлов интерполяции необходимые дополнительные вычисления только для новых членов, без изменения старых.