Курсовая работа: Выбор и построение интерполирующей функции

.

Неизвестные коэффициенты a_i , b_i , c_i , d_i найдем с условий в узлах интерполяции.

Поскольку полиномы совпадают с табличными значениями функции y(x_i ) (i=1,N) в узлах интерполяции, то:

(А)

(В)

Поскольку этих уравнений в два раза меньше, чем неизвестных коэффициентов, то надо еще какие-нибудь дополнительные условия (например, условия непрерывности 1-й и 2-й производных во всех точках, в том числе и в узлах интерполирования, то есть условия гладкости угла поворота пересечения и кривизны линейки).

С условий непрерывности производных у внутренних узлах имеем:

(С)

(D)

Найдем выражения для производных от сплайна S⁽ⁱ⁾ (x):

(Е)

(F)

и подставим их в выражения (С) и (D). Как следствие, имеем 6

(G)

(H)

Для получения еще двух необходимых уравнений воспользуемся условиями в конечных узлах. Например, можно считать концы линейки отпущенными, что отвечает их нулевой кривизне, то есть

(I)

(J)

Построенные при таких условиях кубические сплайны называют свободными. При наличии других известных асимптотических данных задачи, возможны и другие условия на концах отрезков.

Уравнения (A), (B), (G)-(J) составляют полную СЛАУ для определения 4N неизвестных коэффициентов. Если эту СЛАУ преобразовать, то ее решение значительно упростится.

Очевидно, . Кроме того, из выражения (J)

(K)

а из выражения (H) –

(L)

Подставив уравнение (L) в формулу (В) учитывая, что , получим

; (М)

(N)

Извлекая из (G) b_i и b_i+1 с помощью (М), а d_i – на основании (L), придем к такой СЛАУ относительно c_i :

(**)