Курсовая работа: Задачи на экстремум в планиметрии

Г е о м е т р и ч е с к и: если график имеет в точке А максимальную ординату, то в этой точке касательная либо горизонтальна (рис. 1), либо вертикальна (рис. 2), либо не существует (рис. 3). То же для минимальной ординаты (точка В на рис. 1, точка А на рис. 4, точки В и С на рис. 3).

Замечание. Условие экстремума, высказанное в теореме, необходимо, но не достаточно, т. е. производная в точке х = а может обращаться в нуль (рис. 5), в бесконечность (рис. 6) или не существовать (рис. 7) без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.

§ 3. Первое достаточное условие максимума и минимума

Теорема. Если в достаточной близости от точки х = а производная f '(х )положительна слева от а и отрицательна справа от а (рис. 8), то в самой точке х = а функция f ( x ) имеет максимум при условии, что функция f ( x ) здесь непрерывна ¹ ).

Если, наоборот, слева от а производная f (х )отрицательна, а справа положительна (рис. 9), то f (х )имеет в точке а минимум при условии, что она здесь непрерывна ² ).

Теорема выражает тот факт, что f (x )при переходе от возрастания к убыванию имеет максимум, а при переходе от убывания к возрастанию — минимум.

¹ ) Однако, f (x )может и не быть дифференцируемой при х = а (см. рис. 2).

² ) Однако, f (x )может и не быть дифференцируемой при х = а

З а м е ч а н и е. Согласно теореме признаком экстремума функции f (x )является перемена знака производнойf '(х )при прохождении аргумента через рассматриваемое значение х = а.

Если же при прохождении через х = а производная сохраняет знак, то f (x ) возрастает в точке х = а, когда производная положительна как справа, так и слева от х = а (рис. 5, 6, 7), и убывает, когда производная отрицательна (рис. 10).[Снова предполагается, что f (x )непрерывна при х = а. ]

§ 4. Правило разыскания максимумов и минимумов

Пусть функция f ( x ) дифференцируема в промежутке (а, b ). Чтобынайти все ее максимумы и минимумы в этом промежутке, надо:

1) Решить уравнение f '(х) = 0 (корни этого уравнения называются критическими значениями аргумента; среди них надо будет искать значения х, дающие экстремум функции f ( x ); см. § 2).

2) Для каждого критического значения х = а исследовать, меняет ли знак производная f (x ) при переходе аргумента через это значение. Еслиf '(х) переходит от положительных значений к отрицательным (при переходе от х < а к х > а), то имеем максимум (§ 3), если от отрицательных значений к положительным, то минимум.

Если же f ' (х) сохраняет знак, то нет ни максимума, ни минимума: при f '(х) > 0 функция f (х) в точке а возрастает, при f '(х) < 0 убывает (§ 3, замечание).

Замечание 1. Если функция f ( x ) непрерывна в промежутке (а ,b ),но в отдельных его точках не дифференцируема, то эти точки надо причислить к критическим и произвести аналогичное исследование.

Замечание 2. Максимумы и минимумы непрерывной функции следуют друг за другом, чередуясь.

Пример 1. Найти все максимумы и минимумы функции

Р е ш е н и е. Данная функция всюду дифференцируема (т. е. всюду имеет конечную производную) f '(х) = 1— х.

1) Решаем уравнение 1— х = 0. Оно имеет единственный корень х = 1.

2) Производная f '(х) = 1 — х меняет знак при переходе аргумента через значение х = 1. Именно, при х < 1 производная положительна, при х > 1 —отрицательна. Значит, критическое значение х = 1 дает максимум. Других экстремумов у функции нет.

Пример 2. Найти все максимумы и минимумы функции

f ( x ) = ( x - 1)² ( x +1). (1)

Р е ш е н и е. Данная функция всюду дифференцируема. Имеем:

f '(х) = 2(х — 1) (х + 1)³ + 3 (х — 1)² (х + 1)² = (х — 1)(х + 1)² (5х — 1).

1) Решаемуравнениеf '(х) = 0. Егокорни (расположенныевпорядкевозрастания) будут:

х ₁ = — 1, х ₂ = ¹ /₅ ; х₃ = 1.(2)

2) Представив производную в виде

f (х) = 5 (х + 1)² (х – ¹ /₅ ) (х - 1),(3)

исследуем каждое из критических значений.

а) При х < —1 все три двучлена формулы (3) отрицательны, так что слева от х = — 1 имеем: