Курсовая работа: Задачи на экстремум в планиметрии

Так как данная функция имеет период 2π, то достаточно исследовать четыре корня: х ₁ = 0, х ₂ = ^π /₂ , х ₃ =π, х ₄ = ^3π /₂

Берем вторую производную f "(х ) = — 9 sin Зх + 3 sinх . Подставляя критические значения х ₁ , х ₂ , х ₃ , х ₄ , находим:

f "(0) = 0. f "( ^π /₂ ) = 12,

f "(π) = 0. f "( ^3π /₂ ) = - 12.

В точке х₂ = ^π /₂ ближайшая не равная нулю производная имеет второй (четный) порядок, причем f " (^π /₂ ) > 0. Значит, при х = ^π /₂ имеем минимум. Аналогично заключаем, что при х = ^3π /₂ имеем максимум ибо f "(^3π /₂ ) < 0

Экстремальные значения будут:

f (^π /₂ ) = — 1 — 3= - 4 (минимум),

f (^3π /₂ ) = sin^9π /₂ - 3 sin^3π /₂ = 1 - (- 3) = 4 (максимум).

Чтобы исследовать критические значения х ₁ = 0 и х ₃ = π, найдем третью производную f '" (х ) = — 27 cos Зх + 3 cosх ;.

Имеем: f '" (0) = - 24, f '" (π) = + 24.

В точке х = 0 ближайшая не равная нулю производная имеет третий (нечетный) порядок, причем f '"(0) < 0. Значит, при х = 0 экстремума нет. Здесь функция f (х ) убывает. Аналогично заключаем, что и при х =π экстремума нет; но здесь функция f (х ) возрастает [ибо f '"(π) > 0].

§ 6. Разыскание наибольших и наименьших значений функции

1. Пусть по условию вопроса аргумент непрерывной функции f (x ) изменяется в бесконечном промежутке, например в промежутке (a , +∞). Тогда может случиться, что среди значений функции f (х ) нет наибольшего; см. рис. 13,а), где f (x ) неограниченно возрастает при х→+ ∞. Если же функция f (х ) обладает наибольшим значением, то последнее непременно является одним из экстремумов функции; см, рис. 13, б), где наибольшее значение функции есть f (с ).

Пусть теперь по условию вопроса аргумент х изменяется в замкнутом промежутке (а , b ). Тогда f (х ) непременно принимает наибольшее значение.

Однако последнее может не принадлежать к экстремумам, а достигаться на одном из концов промежутка (в точке х = b ¹ ) на рис. 13, в)).

Аналогично для наименьшего значения.

¹ ) Если исключить из рассмотрения конец х = b , то на оставшемся незамкнутом промежутке функция f (х ) наибольшего значения не будет иметь.

2. Пусть требуется разыскать наибольшее (или наименьшее) значение геометрической или физической величины, подчиненной определенным условиям (см. ниже примеры). Тогда надо представить эту величину, как функцию какого-либо аргумента. Из условия задачи определяем промежуток изменения аргумента. Затем находим все критические значения аргумента, лежащие в этом промежутке, и вычисляем соответствующие значения функции, а также значения функции на концах промежутка. Из найденных значений выбираем наибольшее (наименьшее).

З а м е ч а н и е 1. Часто аргумент можно выбирать по-разному; удачный выбор может упростить решение. Учет особенностей задачи тоже может упростить решение.

Так, если внутри данного промежутка имеется лишь одно критическое значение аргумента и оно, на основании того или иного признака (см. §§ 3, 5) должно давать максимум (минимум), то и без сравнения с граничными значениями функции мы вправе заключить, что этот максимум (минимум) является искомым наибольшим (наименьшим) значением,

П р и м е р 1. Отрезок АВ = а делится на две

Рис. 14 части точкой С; на отрезках АС и СВ (рис. 14), как сторонах, строится прямоугольник ACBD. Определить наибольшее значение его площади S.

Р е ш е н и е. Примем за аргумент х длину АС; тогда

СВ = а — х и S = x (а — х ).

Аргумент х непрерывной функции S изменяется в промежутке (0, а ).

Из уравнения

^{d S} /_dx = а — 2х = 0

находим (единственное) критическое значение х = ^а /₂ . Оно принадлежит данному промежутку (0, а ). Вычисляем значение S(^а /₂ ) = ^а /₄ и граничные значения f (0) = 0, f (a ) = 0. Сопоставляя эти три значения, заключаем, что искомым наибольшим значением является ^а /₄ .

В этом сопоставлении не будет необходимости, если заметить, что в единственной критической точке х = ^а /₂ вторая производная функции S (х ) отрицательна; т. е. (§ 5) функция S(х ) имеет здесь максимум.

Переменный прямоугольник ACBD всегда имеет один и тот же периметр (2а). Значит, из всех прямоугольников данного периметра квадрат имеет наибольшую площадь.

П р и м е р 2. Найти наименьшую и наибольшую величины полупериметра прямоугольника с данной площадью S.

Р е ш е н и е . Обозначим стороны прямоугольника через х , у . По условию

xy = S(1)

(х и у — положительные величины). Требуется найти наименьшее и наибольшее значения величины

р = х + у .(2)

Примем за аргумент х ; тогда

р = х + ^S /_х (3)

Аргумент х изменяется в бесконечном промежутке (0, + ∞) (в него не входит конец х = 0). В этом промежутке функция р (х ) непрерывна и имеет производную (4)

Из уравнения (5)